資源簡介

第五講　選擇題的解題方法
知識整合
題型地位
選擇題是高考數學試卷的三大題型之一．選擇題的分數一般占全卷的40%，解選擇題的快慢和成功率的高低對于能否進入做題的最佳狀態以及整個考試的成敗起著舉足輕重的作用．如果選擇題做得比較順手，會使應試者自信心增強，有利于后續試題的解答．
題型特點
數學選擇題屬于客觀性試題，是單項選擇題，即給出的四個選項中只有一個是正確選項，且絕大部分數學選擇題屬于低中檔題，一般按由易到難的順序排列，主要的數學思想和數學方法能通過它得到充分的體現和應用，并且因為它還有相對難度(如思維層次、解題方法的優劣選擇，解題速度的快慢等)，所以選擇題已成為具有較好區分度的基本題型之一．其主要體現在以下三個方面：
(1)知識面廣，切入點多，綜合性較強；
(2)概念性強，靈活性大，技巧性較強；
(3)立意新穎，構思精巧，迷惑性較強．
由于解選擇題不要求表述得出結論的過程，只要求迅速、準確作出判斷，因而選擇題的解法有其獨特的規律和技巧．因此，我們應熟練掌握選擇題的解法，以“準確、迅速”為宗旨，絕不能“小題大做”．
解題策略
數學選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發考慮，探求結果；二是從題干和選擇支聯合考慮或從選擇支出發探求是否滿足題干條件．其解法的基本思想有以下兩點：
(1)充分利用題干和選擇支提供的信息，快速、準確地作出判斷，是解選擇題的基本策略．
(2)既要看到通常各類常規題的解題思想，原則上都可以指導選擇題的解答，更應看到，根據選擇題的特殊性，必定存在著一些特殊的解決方法．其基本做法如下：①仔細審題，領悟題意；②抓住關鍵，全面分析；③仔細檢查，認真核對．
另外，從近幾年高考試題的特點來看，選擇題以認識型和思維型的題目為主，減少了繁瑣的運算，著力考查邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、選擇簡捷運算方法的能力，且許多題目既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解．所以做選擇題時最忌諱以下兩點：
(1)見到題就埋頭運算，按著解答題的解題思路去求解，得到結果再去和選項對照，這樣做花費時間較長，有時還可能得不到正確答案．
(2)隨意“蒙”一個答案，確率只有25%！但經過篩選、淘汰，正確率就可以大幅度提高．
總之，解選擇題的基本策略是“不擇手段”．
1.直接法
直接對照型選擇題是直接從題設條件出發，利用已知條件、相關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，從而直接得出正確結論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確的選擇支．這類選擇題往往是由計算題、應用題或證明題改編而來，其基本求解策略是由因導果，直接求解．
典題例析
例1　(1)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則橢圓C的離心率為(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.
又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
(2)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝(　C　)
A．2　　
B．8　　
C．4　　
D．10
[解析]　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得
∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2，或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.
規律總結
直接法是解答選擇題最常用的基本方法．直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案．平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力，準確把握題目的特點．一般來說，涉及概念、性質的辨析或簡單的運算題目多采用直接法．
跟蹤訓練
1．已知{an}為等比數列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于(　D　)
A．7　　　
B．5　　　
C．－5　　　
D．－7
[解析]　解法一：由題意得
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
解法二：由
解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
2．如圖，設拋物線y2＝4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由題可知拋物線的準線方程為x＝－1．如圖所示，過A作AA2⊥y軸于點A2，過B作BB2⊥y軸于點B2，則＝＝＝.
2.特例檢驗法
特例檢驗(也稱特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，再對各個選項進行檢驗，從而做出正確的選擇．常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．
特例檢驗是解答選擇題的最佳方法之一，適用于解答“對某一集合的所有元素、某種關系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現的題目，其原理是“結論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略．
典題例析
例2　(1)設橢圓C：＋＝1的長軸的兩端點分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點，則PM與PN的斜率之積等于(　B　)
A．　　
B．－　　
C．　　
D．－
[解析]　取特殊點，設P為橢圓的短軸的一個端點(0，)，又取M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝·＝－，故選B.
(2)設x，y，z為正數，且2x＝3y＝5z，則(　D　)
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
[解析]　令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z為正數，
∴t>1．
則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－
＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故選D．
規律總結
用特殊值法解題時要注意：
1．所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；
2．特殊只能否定一般，不能肯定一般；
3．當選取某一特例出現兩個或兩個以上的選項都正確時，要根據題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到找到正確選項為止．
跟蹤訓練
1．如圖，
在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為(　B　)
A．3?1
B．2?1
C．4?1
D．?1
[解析]　將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC－AA1B＝VA1－ABC＝，故選B.
2．已知點E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，過點E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點，且＝ma，＝nb，則＋＝(　A　)
A．3　　　
B．4　　　
C．5　　　
D．
[解析]　由于題中直線PQ的條件是過點E，所以該直線是一條“動”直線，所以最后的結果必然是一個定值，故可利用特殊直線確定所求值．
方法一：如圖1，PQ∥BC，則＝，＝，此時m＝n＝，故＋＝3.
方法二：如圖2，取直線BE作為直線PQ，顯然，此時＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.
3.排除法
數學選擇題的解題本質就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論．篩選法(又叫排除法)就是通過觀察分析或推理運算各項提供的信息或通過特例對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論．
典題例析
例3　(1)(2019·大連模擬)設函數f(x)＝若f(x0)>3，則x0的取值范圍為(　C　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
[解析]　取x0＝1，則f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，則f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A．故選C．
(2)(2019·銀川質檢)已知函數f(x)＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是(　C　)
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
[解析]　依題意x≠－c，故－c>0，則c<0，排除B；f(0)＝>0，故b>0，排除D；當x→＋∞時，f(x)<0，則a<0，排除A．綜上所述，故選C．
規律總結
1．對于干擾項易于淘汰的選擇題，可采用篩選法，能剔除幾個就先剔除幾個，如本例的圖象問題．
2．允許使用題干中的部分條件淘汰選項．
3．如果選項中存在等效命題，那么根據規定——答案唯一，等效命題應該同時排除．
4．如果選項中存在兩個相反的或互不相容的判斷，那么其中至少有一個是假的．
5．如果選項之間存在包含關系，要根據題意才能判斷．
跟蹤訓練
1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　A　)
A．(－，2)∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
[解析]　解法一：因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，且a與b不反向，所以－2λ－1<0且λ≠2，解得λ∈(－，2)∪(2，＋∞)．解法二：因為當λ＝0時，a與b的夾角為鈍角，排除B，D；當λ＝2時，a與b的夾角為π，排除C，故選A．
2．(文)已知函數y＝f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠0}，且滿足f(x)＋f(－x)＝0，當x>0時，f(x)＝lnx－x＋1，則函數y＝f(x)的大致圖象為(　A　)
[解析]　因為函數y＝f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠0}，且滿足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數，故排除C、D，又f(e)＝1－e＋1<0，所以(e，f(e))在第四象限，排除B，故選A．
(理)函數f(x)＝的圖象大致是(　D　)
[解析]　由函數的解析式得，函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故函數f(x)在定義域內是偶函數．
當x＝±1時，f(x)＝0，當x∈(0,1)∪(－1,0)時，f(x)<0，可排除B，C；
當x→0時，f(x)→0，排除A，故選D．
4.數形結合法根據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，這種方法叫數形結合法，有的選擇題可通過命題條件的函數關系或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，得出結論，圖形化策略是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略．
典題例析
例4　已知函數f(x)＝若函數y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，則實數a的取值范圍為__(1,2)__．
[解析]　作出函數f(x)的圖象，根據圖象觀察出函數f(x)的圖象與函數y1＝a|x|的圖象交點的情況，然后利用判別式等知識求解．
畫出函數f(x)的圖象如圖所示．
函數y＝f(x)－a|x|有4個零點，即函數y1＝a|x|的圖象與函數f(x)的圖象有4個交點(根據圖象知需a>0)．
當a＝2時，函數f(x)的圖象與函數y1＝a|x|的圖象有3個交點．故a<2.
當y＝a|x|(x≤0)與y＝|x2＋5x＋4|相切時，在整個定義域內，f(x)的圖象與y1＝a|x|的圖象有5個交點，
此時，由，得x2＋(5－a)x＋4＝0.
當Δ＝0時得(5－a)2－16＝0，
解得a＝1或a＝9(舍去)，
則當1故實數a的取值范圍是1規律總結
數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題．它包含以形助數和以數解形兩個方面．一般來說，涉及函數、不等式、確定參數取值范圍、方程等問題時，可考慮數形結合法．運用數形結合法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導致錯誤的選擇．
跟蹤訓練
1．如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1[解析]　函數y＝log2(x＋1)的圖象如圖所示，所以不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－12．已知函數f(x)滿足：①定義域為R；②對任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③當x∈[－1,1]時，f(x)＝.若函數g(x)＝則函數y＝f(x)－g(x)在區間[－5,5]上零點的個數是(　D　)
A．7　　　
B．8　　　
C．9　　　
D．10
[解析]　函數y＝f(x)－g(x)在區間[－5,5]上的零點個數即為函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象的交點個數．根據函數y＝f(x)的性質可知：
當x∈[1,3]時，x－2∈[－1,1]，
所以f(x)＝2f(x－2)＝2.
當x∈[3,5]時，x－2∈[1,3]，
所以f(x)＝2f(x－2)＝4.
當x∈[－3，－1]時，x＋2∈[－1,1]，
所以f(x)＝f(x＋2)＝.
當x∈[－5，－3]時，x＋2∈[－3，－1]，
所以f(x)＝f(x＋2)＝.
f(0)＝g(0)＝1，f(1)＝g(1)＝0，在同一坐標系內畫出兩個函數的圖象，如圖所示．
觀察圖象可知y＝f(x)與y＝g(x)的圖象交點個數為10.
5.構造法構造法是一種創造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據問題給出的條件和結論給出的信息，把問題作適當的加工處理，構造與問題相關的數學模式，揭示問題的本質，從而溝通解題思路的方法．
典題例析
例5　已知f(x)為定義在(－∞，＋∞)上的可導函數，且f(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2
020)>e2
020f(0)
B．f(2)020)>e2
020f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2
020)020f(0)
D．f(2)020)020f(0)
[解析]　構造函數g(x)＝，則g′(x)＝＝.又因為f(x)0，所以g(x)在R上單調遞增，所以g(2)>g(0)，即>，則f(2)>e2f(0)；g(2
020)>g(0)，即>，則f(2
020)>e2
020f(0)．故選A．
規律總結
構造法求解時需要分析待求問題的結構形式，特別是研究整個問題復雜時，單獨摘出其中的部分進行研究或者構造新的情境進行研究．
跟蹤訓練
　若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列五個命題：
①四面體ABCD每組對棱相互垂直；
②四面體ABCD每個面的面積相等；
③從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°；
④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分；
⑤從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長．
其中正確命題的個數是(　B　)
A．2　　　
B．3　　　
C．4　　　
D．5
[解析]　構造長方體，使三組對棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對角線，在此背景下，長方體的長、寬、高分別為x，y，z.
對于①，需要滿足x＝y＝z，才能成立；因為各個面都是全等的三角形(由對棱相等易證)，則四面體的同一頂點處對應三個角之和一定恒等于180°，故②正確，③顯然不成立；
對于④，由長方體相對面的中心連線相互垂直平分判斷④正確；
每個頂點出發的三條棱的長恰好分別等于各個面的三角形的三邊長，⑤顯然成立．故正確命題有②④⑤，選B.
6.估算法由于選擇題提供了唯一正確的選擇項，解答又無需過程．因此，有些題目不必進行準確的計算，只需對其數值特點和取值界限作出適當的估計，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量，但是加強了思維的層次．
典題例析
例6　已知點P是雙曲線－＝1上的動點，F1，F2分別是此雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點．則的取值范圍是(　B　)
A．[0,6]　　　　　
B．(2，]
C．(，)
D．[0，]
[解析]　當點P趨于雙曲線右支上的無窮遠處時，|PF1|，|PF2|，|OP|趨于相等，從而原式的值趨于2.當點P位于右支的頂點處時，|PF1|＋|PF2|＝4，|OP|＝2.從而原式的值為，排除C、D選項，又易知原式的值不可能為0，排除A，故選B.
規律總結
估算省去了很多推導過程和比較復雜的計算，節省了時間．它是人們發現問題、研究問題、解決問題的一種重要的運算方法．從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，但平時做題時要盡量弄清每一個選擇支正確與錯誤的原因．另外，在解答一道選擇題時，往往需要同時采用幾種方法進行分析、推理，只有這樣，才會在高考時充分利用題目自身提供的信息，做到準確快速地解題．
跟蹤訓練
如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為(　C　)
A．　　　
B．5　　　
C．6　　　
D．
[解析]　
該多面的體積比較難求，可連接BE，CE，
問題轉化為四棱錐E－ABCD與三棱錐E－BCF的體積之和，而VE－ABCD＝S·h＝×9×2＝6，所以只能選C．

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