資源簡介

第六講　填空題的解題方法
知識整合
題型地位
數學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結論開放的填空題，這說明了填空題是數學高考命題改革的試驗田，創新型的填空題將會不斷出現．填空題的分值一般占全卷的13%左右．
題型特點
根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：
(1)定量型，要求考生填寫數值、數集或數量關系，如方程的解、不等式的解集、函數的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等．由于填空題和選擇題相比，缺少選項的信息，所以高考題多以定量型問題出現．
(2)定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定數學對象的某種性質，如填寫給定二次曲線的焦點坐標、離心率等，近幾年又出現了定性型的具有多重選擇性的填空題．
解題策略
數學填空題絕大多數是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，解答時必須按規則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷，幾乎沒有間接方法可言，更是無從猜答，所以在解填空題時，一般要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步都正確無誤，并且還要將答案表達準確、完整．合情推理、優化思路、少算多思是快速、準確解答填空題的基本要求，簡言之，解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略就是“準”“巧”“快”．其基本方法一般有直接求解法、圖象法和特殊法以及等價轉化法等．另外，在解答填空題時還應注意以下幾點：
(1)結果要書寫規范，如分式的分母不含根式，特殊角的函數要寫出函數值，近似計算要達到精確度要求等．
(2)結果要完整，如函數的解析式要寫出定義域，應用題不要忘記寫單位，求軌跡要排除不滿足條件的點等．
(3)結果要符合教材要求，如求不等式的解集要寫成集合或區間的形式，不能只用一個不等式表示．
總之，解填空題的基本原則是“直撲結果”．
1.直接法
對于計算型的試題，多通過直接計算求得結果，這是解決填空題的基本方法．它是直接從題設出發，利用有關性質或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法．要善于透過現象抓本質，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題．
典題例析
例1　(1)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，則c＝__4__.
[解析]　在△ABC中，因為3sinA＝2sinB.由正弦定理可知3a＝2b，
因為a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×(－)＝16，
所以c＝4.
(2)(2017·江蘇卷)已知函數f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數的底數．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數a的取值范圍是　[－1，]　.
[解析]　因為f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函數．
因為f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
因為f
′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，
所以f(x)在R上單調遞增，
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，
所以－1≤a≤.
規律總結
直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速、準確地求解填空題的關鍵．
跟蹤訓練
1．已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f(－)＋f(1)＝__－2__.
[解析]　因為函數f(x)是定義在R上周期為2的奇函數，所以f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，所以－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，f(－)＝f(－－2)＝f(－)＝－f()＝－4＝－2，所以f(－)＋f(1)＝－2.
2．(2017·山東卷)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為　y＝±x　.
[解析]　設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，
∴＝，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
2.特例法當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論．為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應多取幾個特例．
典題例析
例2　拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點，點M是這兩條曲線的一個交點，且|MF|＝2p，則雙曲線的漸近線方程為　y＝±x　.
[解析]　由拋物線的定義可知，點M到準線x＝－＝－a的距離就是|MF|＝2p，不妨設點M在第一象限，則點M的橫坐標為，代入y2＝2px，得點M(，p)，即M(3a，2a)，代入－＝1，得＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
規律總結
特例法的理論依據：若對所有值都成立，那么特殊值也成立．我們可以利用填空題不需要過程、只需要結果這一“弱點”，“以偏概全”來求解．
跟蹤訓練　
如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB，AC分別交于不同的兩點P，Q，若＝λ，＝μ，則＋＝__2__.
[解析]　由題意可知，＋的值與點P，Q的位置無關，而當直線PQ與直線BC重合時，則有λ＝μ＝1，所以＋＝2.
3.圖象分析法對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規范地作出相應的圖形．
典題例析
例3　若函數y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝f(x－1)且x∈[1,3]時，f(x)＝－x2＋4x－3，函數g(x)＝則方程f(x)－g(x)＝0在區間[－3,3]上根的個數為__4__.
[解析]　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，可知此函數是周期為2的周期函數，因為方程f(x)－g(x)＝0在區間[－3,3]內根的個數，即函數f(x)和g(x)圖象交點的個數．畫出f(x)和g(x)的圖象(如圖所示)，得兩圖象有4個交點，即方程f(x)－g(x)＝0在區間[－3,3]上根的個數為4.
規律總結
數形結合的重點是“以形助數”，在解題時要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維．使用數形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．
跟蹤訓練
　函數f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數為__2__.
[解析]　函數f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數等價于方程
4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|＝0的根的個數，即函數g(x)＝4cos2cos－2sinx＝sin2x與h(x)＝|ln(x＋1)|的圖象交點個數．分別畫出其函數圖象的草圖如圖所示，由圖可知，函數g(x)與h(x)的圖象有2個交點．
4.構造法用構造法解填空題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數學模型，從而簡化推導與運算過程．構造法是建立在觀察聯想、分析綜合的基礎之上的，首先應觀察題目，觀察已知(例如代數式)形式上的特點，然后積極調動思維，聯想、類比已學過的知識及各種數學結構、數學模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數背景)，從而構造幾何、函數、向量等具體的數學模型，達到快速解題的目的．
典題例析
例4　(1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于　π　.
[解析]　如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的體積V＝＝π.
(2)已知f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導函數，且f(x)>xf
′(x)恒成立，則不等式x2f()－f(x)>0的解集為(　C　)
A．(0,1)　　　　　
B．(1,2)
C．(1，＋∞)
D．(2，＋∞)
[解析]　設g(x)＝，則g′(x)＝.又因為f(x)>xf
′(x)，所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函數g(x)＝為(0，＋∞)上的減函數．又因為x2f()－f(x)>0?>?g()>g(x)，則有1，故選C．
規律總結
構造法實質上是化歸與轉化思想在解題中的應用，需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數、不等式或數列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．
跟蹤訓練
　設f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數，其導函數為f
′(x)，且f
′(x)[解析]　設函數g(x)＝，則g′(x)＝＝<0，所以g(x)＝為(0，＋∞)上的單調遞減函數．當x>0時，不等式xf(1)，即>，所以05.正反互推法多選型問題給出多個命題或結論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結論，這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結論之間正反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結論．
典題例析
例5　對于函數f(x)＝給出下列四個結論：
①該函數是以π為最小正周期的周期函數；
②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數取得最小值－1；
③該函數的圖象關于x＝＋2kπ(k∈Z)對稱；
④當且僅當2kπ其中正確結論的序號是__③④__.(請將所有正確結論的序號都填上)
[解析]　如圖所示，作出f(x)在區間[0,2π]上的圖象．
由圖象易知，函數f(x)的最小正周期為2π；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)時，該函數都取得最小值－1，故①②錯誤．由圖象知，函數圖象關于直線x＝＋2kπ(k∈Z)對稱；當且僅當2kπ規律總結
正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結論的真假；二是多種知識點的匯總考查，主要覆蓋考點功能．兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進行分析，后者需要獨立利用知識逐項進行判斷，利用正反互推結合可以快速解決這類問題．
跟蹤訓練
　已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：①f(2
019)＋f(－2
020)的值為0；②函數f(x)在定義域上是周期為2的周期函數；③直線y＝x與函數f(x)的圖象有1個交點；④函數f(x)的值域為(－1,1)．其中正確的命題序號有__①③④__.
[解析]　根據題意，可在同一坐標系中畫出直線y＝x和函數f(x)的圖象如下：
根據圖象可知①f(2
019)＋f(－2
020)＝0正確；②函數f(x)在定義域上不是周期函數，所以②不正確；③根據圖象確實只有一個交點，所以正確，④根據圖象，函數f(x)的值域是(－1,1)，所以正確．
6.歸納推理法
對于概念與性質的判斷等類型的填空題，應按照相關的定義、性質、定理等進行合乎邏輯的推理和判斷，尤其是新定義型問題．必須進行嚴密的邏輯推理，才能得到正確的結果．
典題例析
例6　已知不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，照此規律總結出第n個不等式為　1＋＋＋…＋＋<　.
[解析]　由已知，三個不等式可以寫成1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，所以照此規律可得到第n個不等式為1＋＋＋…＋＋<＝.
規律總結
推理法多用于新定義型填空題，只要能讀懂題意，認真歸納類比即可得出結論，但在推理過程中要嚴格按照定義的法則或相關的定理進行，關鍵是找準歸納的對象．
跟蹤訓練
　已知12＝×1×2×3,12＋22＝×2×3×5,12＋22＋32＝×3×4×7,12＋22＋32＋42＝×4×5×9，…，則12＋22＋…＋n2＝　n(n＋1)(2n＋1)　(其中n∈N
)．
[解析]　根據題意歸納出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，下面給出證明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，則23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1)．

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