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2021年福建省中考數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．在實數，，0，﹣1中，最小的數是（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．
2．如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（　　）
A．2km
B．3km
C．km
D．4km
4．下列運算正確的是（　　）
A．2a﹣a＝2
B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2
D．（2a3）2＝4a6
5．某校為推薦一項作品參加“科技創新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如表：
項目作品
甲
乙
丙
丁
創新性
90
95
90
90
實用性
90
90
95
85
如果按照創新性占60%，實用性占40%計算總成績，并根據總成績擇優推薦，那么應推薦的作品是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．某市2018年底森林覆蓋率為63%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達到68%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，那么，符合題意的方程是（　　）
A．0.63（1+x）＝0.68
B．0.63（1+x）2＝0.68
C．0.63（1+2x）＝0.68
D．0.63（1+2x）2＝0.68
7．如圖，點F在正ABCDE五邊形的內部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于（　　）
A．108°
B．120°
C．126°
D．132°
8．如圖，一次函數y＝kx+b（k＞0）的圖象過點（﹣1，0），則不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞﹣2
B．x＞﹣1
C．x＞0
D．x＞1
9．如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝6，PC＝4，則sin∠CAD等于（　　）
A．
B．
C．
D．
10．二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個點，下列說法一定正確的是（　　）
A．若y1y2＞0，則y3y4＞0
B．若y1y4＞0，則y2y3＞0
C．若y2y4＜0，則y1y3＜0
D．若y3y4＜0，則y1y2＜0
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．若反比例函數y＝的圖象過點（1，1），則k的值等于
　
　．
12．寫出一個無理數x，使得1＜x＜4，則x可以是
　
　（只要寫出一個滿足條件的x即可）
13．某校共有1000名學生．為了解學生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100名學生的中長跑成績，畫出條形統計圖，如圖．根據所學的統計知識可估計該校中長跑成績優秀的學生人數是
　
　．
14．如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點D到AC的距離是
　
　．
15．已知非零實數x，y滿足y＝，則的值等于
　
　．
16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，點E，F分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF＝AB，G是五邊形AEFCD內滿足GE＝GF且∠EGF＝90°的點．現給出以下結論：
①∠GEB與∠GFB一定互補；
②點G到邊AB，BC的距離一定相等；
③點G到邊AD，DC的距離可能相等；
④點G到邊AB的距離的最大值為2．
其中正確的是
　
　.（寫出所有正確結論的序號）
三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．計算：．
18．如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．
19．解不等式組：
20．某公司經營某種農產品，零售一箱該農產品的利潤是70元，批發一箱該農產品的利潤是40元．
（1）已知該公司某月賣出100箱這種農產品共獲利潤4600元，問：該公司當月零售、批發這種農產品的箱數分別是多少？
（2）經營性質規定，該公司零售的數量不能多于總數量的30%．現該公司要經營1000箱這種農產品，問：應如何規劃零售和批發的數量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？
21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．
（1）求證：∠ADE＝∠DFC；
（2）求證：CD＝BF．
22．如圖，已知線段MN＝a，AR⊥AK，垂足為A．
（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點．
23．“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創造了以弱勝強的經典案例．
假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：
（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；
（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率．
24．如圖，在正方形ABCD中，E，F為邊AB上的兩個三等分點，點A關于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G．
（1）求證：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求證：A′C＝2A′B．
25．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸只有一個公共點．
（1）若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知點P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有兩點在拋物線上．
①求拋物線的解析式；
②設直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點B，C．求證：△MAB與△MBC的面積相等．數學試題參考答案
選擇題:本題考查基礎知識與基本技能。每小題4分,滿分40分。
1.A
2.A
3.D
4.D
6.B
7.C
8.C
D
10.C
二、填空題:本題考查基礎知識與基本技能。每小題4分,滿分24分
l1.1
2答案不唯一(如,7,.0100010等)
13.270
14.3
15.4
16.①②④
三、解答題:本題共9小題,共86分。
17.本小題考查二次根式的化簡絕對值的意義有理數負指數冪等基礎知識,考查運算能力滿分8分
解:原式=23+(3-√3)-3
23+3-√3-3
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考
18.本小題考查垂線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等基礎知識,考查推理能力、空
間觀念與幾何直觀滿分8分
正明:DE⊥AC,DF⊥AB
∠DEC=∠DFB=90°
DE=
DE
在△DEC和△DFB中,∠DEC=∠DFB,
CE=BE
△DEC≌△DFB
∠B=∠C.
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考.
19.本小題考查一元一次不等式組的解法等基礎知識,考查運算能力.滿分8分
解:解不等式①,得x≥1.
解不等式②,得x<3
所以原不等式組的解集是1≤x<3.
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考
20.本小題考查列方程(組)解應用題、二元一次方程組的解法、一次函數的性質等基礎知識,考查運算能
力、應用意識,考查函數與方程思想.滿分8分
解:(1)設該公司當月零售農產品x箱,批發農產品y箱.
依題意,得
70x+40y=460
+y=100
解得
所以該公司當月零售農產品20箱,批發農產品80箱
(2)設該公司零售農產品m箱,獲得總利潤u元
則批發農產品的數量為(1000-m)箱
依題意,得=70m+40(1000-m)=30m+40000,m≤300
因為30>0,所以v隨著m的增大而增大
所以m=300時,取得最大值49000元,
此時1000-m=700
所以該公司應零售農產品300箱、批發農產品700箱才能使總利潤最大,最大總利潤是4900元
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考
21.本小題考查平移的性質、直角三角形和等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質,考查推理能力
空間觀念與幾何直觀,考查化歸與轉化思想.滿分8分.
證明:(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°
∠ACB=90°,
∠DFC+∠ADF=∠ACB=90
∠ADE=∠DFC.
(2)連接AE
由平移的性質得AE∥BF,AE=BF
∴∠EAD=∠ACB=90°,
∠DCF=180°-∠ACB=90
∠EAD=∠DCF
△EDF是等腰直角三角形
DE=DF
由(1)得∠ADB=∠DFC
△AED△CDF
AE≌CD,CD=BF
說明:本參考答案僅給出一種解法供參考
22.本小題考查尺規作圖、等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質、平行線的判定與性質、相似三角
形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質等基礎知識,考查推理能力、空間觀念
與幾何直觀,考查化歸與轉化思想.滿分10分
解:(1)R
四邊形ABCD是所求作的四邊形

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