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多邊形的內角和課后練習
一、單選題
1．一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（
）
A．三角形
B．四邊形
C．五邊形
D．六邊形
2．若一個正多邊形的每個內角為，則這個正多邊形的邊數是（
）
A．7
B．10
C．12
D．14
3．如果一個正多邊形的內角和等于1080°，那么該正多邊形的一個外角等于（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．72°
4．一個五邊形截去個角后剩下的多邊形內角和是（
）
A．
B．
C．
D．或或
5．如圖三角形紙片，剪去角后，得到一個四邊形，則（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知一個邊形的每一個外角都相等，一個內角與其相鄰的一個外角的度數之比是，則的值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
7．如圖，等于（
）
A．360°
B．335°
C．385°
D．405°
8．一個凸多邊形的每一個內角都等于140°，則這個多邊形的對角線的條數是（
）
A．9條
B．54條
C．27條
D．6條
9．如圖，小峰從點O出發，前進后向右轉45°，再前進后又向右轉45°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發點O時，一共走的路程是（
）
A．35米
B．42米
C．70米
D．56米
10．若多邊形的邊數由5增加到n（n為大于5的正整數），則其外角和的度數（
）
A．增加
B．減少
C．不變
D．不能確定
11．如圖，用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE，其中∠BAE的度數是（　　　）
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
12．在某廣場整修工程中，計劃采用同一種正多邊形地板磚鋪設地面．則下列滿足要求的地板磚是（
）
A．正五邊形
B．正六邊形
C．正七邊形
D．正八邊形
二、填空題
13．已知四邊形中，與互補，，則________．
14．內角和為的多邊形是__________邊形．
15．已知一個多邊形的內角和與外角和之和為2520°，則這個多邊形為_____邊形．
16．一個不規則的圖形如右圖所示，那么______．
17．如圖的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點．若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220°，則∠BOD的度數為__________．
三、解答題
18．小紅把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，求的度數．
19．如圖，在五邊形ABCDE中，AP平分，BP平分．
（1）五邊形ABCDE的內角和為　
　度；
（2）若，，，求的度數．
20．如圖1，已知是的一個外角，我們容易證明，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
嘗試探究：
（1）如圖2，與分別為的兩個外角，則_______（橫線上填“>”、“<”或“=”）．
初步應用：（2）如圖3，在紙片中剪去，得到四邊形，，則_______．
（3）解決問題：如圖4，在中，、分別平分外角、，與有何數量關系？請嘗試證明．
（4）如圖5，在四邊形中，、分別平分外角、，請利用上面的結論直接寫出與、的數量關系．
參考答案
1．D
解：設多邊形的邊數為n，
由題意得，（n-2）?180°=2×360°，
解得n=6，
所以，這個多邊形是六邊形．
故選：D．
2．B
解：設正多邊形是n邊形，由內角和公式得
（n-2）180°=144°×n，
解得n=10，
故選：B．
3．B
解：設此多邊形為n邊形，
根據題意得：180°×（n-2）=1080°，
解得：n=8，
∴這個正多邊形的每一個外角等于：360°÷8=45°．
故選：B．
4．D
解：一個五邊形剪去一個角后，分三種情況：①邊數可能減少1，②邊數可能增加1，③邊數可能不變；
①四邊形的內角和為：360°；
②六邊形的內角和為：（6-2）×180°=720°；
③五邊形的內角和為：（5-2）×180°=540°；
故選D．
5．C
解：根據三角形的內角和定理得：
四邊形除去∠1，∠2后的兩角的度數為180°-60°=120°，
則根據四邊形的內角和定理得：
∠1+∠2=360°-120°=240°．
故選：C．
6．B
解：設這個n邊形的一個內角為7x，則與這個內角相鄰的外角的度數為2x，
根據題意可知，
解得：．
則與這個內角相鄰的外角的度數為．
∴，．
解得：．
故選：B．
7．C
解：由多邊形的內角和公式可得：，
∴，
故選：C．
8．C
解：∵多邊形的每一個內角都等于140°，
∴每個外角是180°-140°=40°，
∴這個多邊形的邊數是360°÷40°=9，
∴這個多邊形所有對角線的條數是：n(n-3)÷2=9×(9-3)÷2=27．
故選：C．
9．D
解：依題意可知，小峰所走路徑為正多邊形，設這個正多邊形的邊數為n，
則45n=360，解得n=8，
∴他第一次回到出發點O時一共走了：7×8=56米，
故選：D．
10．C
解：因為多邊形外角和固定為360°，所以外角和的度數是不變的．
故選：C．
11．B
解：正五邊形的內角和=，
∴∠BAE=，
故選：B．
12．B
解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案，
∴用同一種正多邊形鋪滿地面，則可供選擇的正多邊形是正六邊形．
故選：B．
13．50°
解：∵∠A與∠B互補，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠D=130°，
∴∠C=50°，
故答案為：50°．
14．七
解：設所求多邊形邊數為n，
則（n-2）?180=900，
解得n=7．
故答案為：七．
15．14
解：設這個多邊形的邊數為n．
根據題意得：（n-2）×180°+360°=2520°．
解得：n=14．
故這個多邊形為14邊形．
故答案為：14．
16．360°
解：如圖延長AF交DC于G點，
由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠1＝∠E+∠AFE，∠2＝∠1+∠D，
等量代換，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠AFE＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
故答案為：360°．
17．
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五邊形OAGFE內角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-500°=40°，
故答案為：40°．
18．
解：如圖，由三角形的外角的性質可得：
19．（1）540；（2）65°
解：（1）五邊形ABCDE的內角和為，
（2）∵在五邊形ABCDE中，，
，，
∴，
∵AP平分，BP平分，
∴，，
∴，
∴．
20．（1）=
（2）
45°
（3）；證明見解析
（4）
解：（1）∠DBC＋∠ECB?∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，
∴∠DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，
∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，
故答案為：＝；
（2）∠2?∠C＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1?∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2?∠C＋135°＝180°，
∴∠2?∠C＝45°．
故答案為：45°；
（3）∠P＝90°?∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°?∠CBP?∠BCP＝180°?（∠DBC＋∠ECB），
∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°?（180°＋∠A）＝90°?∠A；
（4）∠P＝180°?（∠A＋∠D）．
理由是：如圖：
∵∠EBC＝180°?∠1，∠FCB＝180°?∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°?∠1，∠4＝∠FCB＝90°?∠2，
∴∠3＋∠4＝180°?（∠1＋∠2），
∵四邊形ABCD中，∠1＋∠2＝360°?（∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°?（∠3＋∠4）＝（∠1＋∠2），
∴∠P＝×[360°?（∠A＋∠D）]＝180°?（∠A＋∠D）．

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