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課程標(biāo)題
平方數(shù)（二）
上一講我們學(xué)方數(shù)、平方差的基本題型，本講將深入學(xué)習(xí)平方差公式，并探討較大平方數(shù)問題。
知識(shí)梳理
1.
平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)
如16的約數(shù)有1、2、4、8、16。
2.
在兩個(gè)相鄰整數(shù)的平方之間不可能再有完全平方數(shù)
如36、49就是相鄰平方數(shù)，兩數(shù)之間沒有平方數(shù)。
3.
質(zhì)數(shù)p整除某個(gè)平方數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)的平方也整除這個(gè)平方數(shù)
如不存在某平方數(shù)是11的倍數(shù)，但不是121的倍數(shù)。
4.
兩個(gè)非零的互質(zhì)的自然數(shù)，乘積是平方數(shù)
，那么這兩個(gè)數(shù)都是平方數(shù)
整數(shù)a、
b、
c滿足，，那么a
、b都是平方數(shù)。
例1
1×2×3、2×3×4、3×4×5…..這個(gè)數(shù)列當(dāng)中是否存在完全平方數(shù)？
分析與解：數(shù)列的每一項(xiàng)都具有的形式，
其中n與n2－1是互質(zhì)的。兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的乘積如果是平方數(shù)，那么這兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)應(yīng)該都是平方數(shù)。如果是平方數(shù)，n＝1，而0不在數(shù)列中，所以該數(shù)列的每一項(xiàng)都不是平方數(shù)。
例2
1×2×3×4、2×3×4×5、3×4×5×6…..該數(shù)列中有沒有平方數(shù)？
分析與解：通過觀察，
1×2×3×4＝24＝52－1
2×3×4×5＝120＝112－1
3×4×5×6＝360＝192－1
…………
由此可見每一項(xiàng)都比平方數(shù)小1，根據(jù)例1的結(jié)論：如果是平方數(shù)，需使n＝1。所以該數(shù)列中沒有平方數(shù)。
例3
找出兩個(gè)四位的平方數(shù)，且二者相差3333。
分析與解：
我們需要對(duì)平方差公式熟悉到什么程度呢？見到這道題就應(yīng)該想到要用平方差公式。
由此可得，利用和差公式得
這兩個(gè)平方數(shù)是，
例4
2011盞亮著的燈，依次編號(hào)為1、2、3…2011。每盞燈的編號(hào)有幾個(gè)約數(shù)，這盞燈就按幾次，如15號(hào)，它的約數(shù)有1、3、5、15，那么編號(hào)為15的燈就按4次。依此類推，這樣最終有幾盞燈滅了？
分析與解：開關(guān)按奇數(shù)次燈就滅了。實(shí)際是求有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)有幾個(gè)。
如果一個(gè)數(shù)不是平方數(shù)，如54，它的約數(shù)是1、2、3、6、9、18、27、54。
它們可以兩兩湊對(duì)為，即非平方數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以只要數(shù)一數(shù)這里邊的平方數(shù)有幾個(gè)即可。
不超過2011的最大的平方數(shù)是44的平方，這樣最終有44盞燈滅了。
例5
（1）用240個(gè)5和若干個(gè)0組成的數(shù)是否為完全平方數(shù)？
（2）是否存在自然數(shù)a、b使得2ab11×7是完全平方數(shù)？
分析與解：（1）我們知道240個(gè)5與若干個(gè)0組成的數(shù)的數(shù)字和是1200，1200能被3整除，所以這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，如果它是完全平方數(shù)，那么它就必須是9的倍數(shù)，但是1200不能被9整除，所以用240個(gè)5和若干個(gè)0組成的數(shù)不是完全平方數(shù)。
（2）由于2ab11×7是完全平方數(shù)，所以2ab11必是一個(gè)完全平方數(shù)×7，又由于3×7＝21，所以這個(gè)完全平方數(shù)的尾數(shù)是3，而我們知道完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0、1、4、5、6、9，所以不存在自然數(shù)a、b使得2ab11×7是完全平方數(shù)。
同步練習(xí)（答題時(shí)間：30分鐘）
1
.一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)是多少？
2.
求三個(gè)平方數(shù)滿足：，。
3.
證明兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)。
4.
44、444、4444、44444、444444、4444444…這樣的數(shù)中有沒有平方數(shù)？
5.
少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著300個(gè)彩色燈泡，這些燈泡或明或暗，十分有趣。這300個(gè)燈泡按1~300編號(hào)，它們的亮暗規(guī)則是：第一秒，全部燈泡變亮；第二秒，凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第三秒，凡編號(hào)為3的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)，即亮的變暗，暗的變亮；一般地，第n秒凡編號(hào)為n的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)。這樣繼續(xù)下去到第300秒時(shí)，亮著的燈泡有幾個(gè)？
答案
1.
解：設(shè)這個(gè)數(shù)減去63為a，減去100為b，則
，
可知a＋b＝37，a－b＝1，所以a＝19，b＝18，這個(gè)數(shù)為。
2.
解：先將式子變形還可以得到，而兩個(gè)數(shù)的平方差是偶數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，并且利用平方差公式可以得到偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，又140＝14×10，所以A是144，B是64，C是4。
3.
解：假設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n－1，2n＋1，其中n為整數(shù)。
兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差：(2n＋1)?－(2n－1)?＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n，它是8的倍數(shù)。
4.
解：先看11、111、1111、11111、111111、1111111…這樣的數(shù)中有沒有平方數(shù)，它們的末位數(shù)字都是1，如果其中有平方數(shù)，則它具有形式或。
若111…11（n個(gè)1）＝＝，則111…10＝，111…1（n－1個(gè)1）＝，而這個(gè)等式左邊的數(shù)為奇數(shù)，右邊的數(shù)為偶數(shù)，所以這個(gè)等式不成立，即11、111、1111、11111、111111、1111111…這樣的數(shù)中沒有這樣的平方數(shù)。
同樣的方法可以得到11、111、1111、11111、111111、1111111…這樣的數(shù)中沒有這樣的平方數(shù)，所以11、111、1111、11111、111111、1111111…這樣的數(shù)中沒有平方數(shù)。
而44、444、4444、44444、444444、4444444…這樣的數(shù)可以看做是11、111、1111、11111、111111、1111111…這樣的數(shù)與4相乘，而一個(gè)非平方數(shù)和一個(gè)平方數(shù)的積是一個(gè)非平方數(shù)，所以44、444、4444、44444、444444、4444444…這樣的數(shù)中沒有平方數(shù)。
5.
解：拉奇數(shù)次的燈泡亮著，將秒數(shù)和燈泡的編號(hào)對(duì)應(yīng)起來可知拉每個(gè)燈泡的次數(shù)是編號(hào)的約數(shù)的個(gè)數(shù)。有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)，比300小的完全平方數(shù)有17×17＝289（個(gè)），因此亮著的燈泡有17個(gè)。
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