資源簡介

高中數學必修 1至必修 5知識點總結 （復習專用） 人教版
必修 1
第一章 集合與函數概念
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性
非負整數集（即自然數集）記作： N
正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集 Q 實數集 R
關于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如： a是集合 A的元素，就說 a屬于集合 A 記作 a∈ A ，
相反， a不屬于集合 A 記作 a A
二、集合間的基本關系
任何一個集合是它本身的子集。 A A
②真子集 :如果 A B,且 B A那就說集合 A是集合 B的真子集，記作 A B(或 B A)
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬于 A且屬于 B的元素所組成的集合 ,叫做 A,B的交集． (即找公
共部分 )記作 A∩ B(讀作” A交 B” )，即 A∩ B={x|x∈ A，且 x∈ B}．
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合，叫做 A,B 的并集。
（即 A和 B中所有的元素）記作： A∪ B(讀作” A并 B” )，即 A∪ B={x|x∈ A，或 x∈ B}．
4、全集與補集
（ 1）補集：設 S是一個集合， A是 S的一個子集（即 ），由 S中所有不屬于 A的元素組成的集合，
叫做 S中子集 A的補集（或余集）（即除去 A剩下的元素組成的集合）
四、函數的有關概念
定義域補充
能使函數式有意義的實數 x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零； (4)指數、
對數式的底必須大于零且不等于 1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的 .那么，它的
定義域是使各部分都有意義的 x的值組成的集合 .（ 6）指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的
定義域還要保證實際問題有意義 .
(又注意：求出不等式組的解集即 為函數的定義域。 )
構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
4．了解區間的概念
（ 1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（ 2）無窮區間；（ 3）區間的數軸表示．
7．函數單調性
（ 1）．增函數
設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果對于定義域 I內的某個區間 D內的任意兩個自變量 a， b，當 a都有 f(a)區間的概念）
如果對于區間 D上的任意兩個自變量的值 a， b，當 a區間上是減函數 .區間 D稱為 y=f(x)的單調減區間 .
注意： 1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；
2 必須是對于區間 D內的任意兩個自變量 a， b；當 a（ 2） 圖象的特點
如果函數 y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數 y=f(x)在這一區間上具有 (嚴格的 )單調
性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減 函數的圖象從左到右是下降的 .
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：任取 a， b∈ D，且 a - 1 -
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（即判斷差 f(a)－ f(b)的正負）； 5 下結論（指出函數 f(x)在給定的區間 D上的單調性）．
(B)圖象法 (從圖象上看升降 )_ (C)復合函數的單調性
復合函數 f[g(x)]的單調性與構成它的函數 u=g(x)， y=f(u)的單調性密切相關
注意： 1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集 .
8．函數的奇偶性
（ 1）偶函數
一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函數．
（ 2）．奇函數
一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數．
注意： 1、 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能
沒有奇偶性 ,也可能既是奇函數又是偶函數。
2、 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，則
－ x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．
3、具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于 軸對稱；奇函數的圖 象關于原點對稱．
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： 1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原
點對稱； 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關系； 3 作出相應結論：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則
f(x)是偶函數；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數．
注意 ：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對
稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數 .若對稱， (1)再根據定義判定 ; (2)有時判定 f(-x)=± f(x)比較困難，
可考慮根據是否有 f(-x)± f(x)=0或 f(x)/f(-x)=± 1來判定 ; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
10．函數最大（小）值（定義見課本）
（ 1）、利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值 .
（ 2）、利用圖象求函數的最大（小）值
（ 3）、利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數 y=f(x)在區間 [a， b]上單調遞增，在區
間 [b， c]上單調遞減則函數 y=f(x)在 x=b處有最大值 f(b)；如果函數 y=f(x)在區間 [a， b]上單調遞減，
在區間 [b， c]上單調遞增則函數 y=f(x)在 x=b處有最小值 f(b)；
第二章 基本初等函數
一、指數函數
，
0的正分數指數冪等于 0， 0的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
（ 1） · ；
（ 2） ；
（ 3） ．
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數（ exponential function），
其中 x是自變量，函數的定義域為 R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和 1．

2、指數函數的圖象和性質
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a>1 0
圖象特征 函數性質

向 x、 y軸正負方向無限延伸 函數的定義域為 R
圖象關于原點和 y軸不對稱 非奇非偶函數
+
函數圖象都在 x軸上方 函數的值域為 R
函數圖象都過定點（ 0， 1）
自 左 向 右 自 左 向 右
看， 看， 增函數 減函數
圖 象 逐 漸 圖 象 逐 漸
上升 下降
在 第 一 象 在 第 一 象
限內的圖象縱 限內的圖象縱
坐標都大于 1 坐標都小于 1
在 第 二 象 在 第 二 象
限內的圖象縱 限內的圖象縱
坐標都小于 1 坐標都大于 1
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（ 1）在 [a， b]上， 值域是 或 ；
（ 2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（ 3）對于指數函數 ，總有 ；
（ 4）當 時，若 ，則 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果 ，那么數 叫做 以 ． 為底 ． ． 的對 數，記作：
（ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明： ○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式 ．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以 10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
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對數式與指數式的互化

對數式 指 數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那么：（ 1） · ＋ ；
（ 2） － ；（ 3） ．
注意：換底公式 （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論
（ 1） ；
（ 2） ．
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做 對數函數，其中 是自變量，函數的
定義域是（ 0， +∞）．
注意： ○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
（ 2）對數函數和指數函數的聯系是 x和 y的位置
如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
2、對數函數的性質：
a>1 0
圖象特征 函數性質

函數圖象都在 軸右側 函數的定義域為（ ，＋∞）
圖象關于原點和 軸不對稱 非奇非偶函數
向 軸正負方向無限延伸 函數的值域為
函數圖象都過定點（ ， ）
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自左向右看， 自左向右看，
圖 象 逐 漸 上 圖 象 逐 漸 下 增函數 減函數
升 降
第 一 象 第 一 象
限 的 圖 象 縱 限 的 圖 象 縱
坐標都大于 0 坐標都大于 0
第 二 象 第 二 象
限 的 圖 象 縱 限 的 圖 象 縱
坐標都小于 0 坐標都小于 0
三、冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數．
2、冪函數性質歸納．
（ 1）所有的冪函數在（ 0， +∞）都有定義，并且圖象都過點（ 1， 1）；
（ 2） 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間 上是增函數．特別地，當 時，
冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；
（ 3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點
時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時， 圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半
軸．

第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數
的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象
與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．
3、函數零點的求法：
求函數 的零點：
○1 （代數法）求方程 的實數根；
○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用
函數的性質找出零點．
必 修
第一章 立體幾何初步
特殊幾何體表面積公式（ c為底面周長， h為高， 為斜高， l為母線）


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2.柱體、錐體、臺體的體積公式




3. 球體的表面積和體積公式： ；
4．空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、
俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映 了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體的高度和
寬度。
3、空間幾何體的直觀圖 —— 斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與 x軸平行的線段仍然與 x平行且長度不變；
②原來與 y軸平行的線段仍然與 y平行，長度為原來的一半。
第二章 直線與平面的位置關系
空間點、直線、平面之間的位置關系
1 平面含義：平面是無限延展的
2 三個公理：
（ 1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內 .
符號表示為
A∈ L A
B∈ L => L α α ·
A∈α L
B∈α
公理 1作用： 判斷直線是否在 平面內 .
（ 2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
A B
符號表示為： A、 B、 C三點不共線 => 有且只有一個平面α， α · C ·
使 A∈α、 B∈α、 C∈α。 ·
公理 2作用： 確定一個平面的依據。
（ 3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
符號表示為： P∈α∩β =>α∩β =L，且 P∈ L β
公理 3作用： 判定兩個平面是否相交的依據 .
2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系 α P
1 空間的兩條直線有如下三種關系： · L
共面直線 相交直線：同一平面內，有且只有 一個公共點；
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平行直線： 同一平面內，沒有公共點；
異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。
2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
符號表示為：設 a、 b、 c是三條直線
a∥ b =>a∥
c∥ b
強調：公理 4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理 4作用： 判斷空間兩條直線平行的依據。
3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補 .
4 注意點：
① a'與 b'所成的角的大小只由 a、 b的相互位置來確定，與 O 的選擇無關，
為了簡便，點 O 一般取在兩直線中 的一條上；
② 兩條異面直線所成的角θ∈ (0， )；
③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥ b；
④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系
1、直線與平面有三種位置關系：
（ 1）直線在平面內 —— 有無數個公共點
（ 2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點
（ 3）直線在平面平行 —— 沒有公共點
指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用 a α來表示

a α a∩α =A a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質
2.2.1 直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平
行。
簡記為： 線線平行，則線面平行。
符號表示：
a α
b β => a∥α
a∥ b
2.2.2 平面與平面平行的判定
1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：
a β
b β
a∩ b = P =>β∥α
a∥α
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b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（ 1）用定義；
（ 2）判定定理；
（ 3） 垂直于同一條直線的兩個平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質
1、直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交
線與該直 線平行。
簡記為： 線面平行則線線平行。
符號表示：

a ∥α
a β => a∥ b
α∩β = b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
符號表示：
α∥β
α∩γ = a => a∥ b
β∩γ = b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質
2.3.1直線與平面垂直的判定
、定義：如果直線 L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L與平面α互相垂直，記作 L
⊥α，直線 L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時 ,它們唯一公共點 P
叫做垂足。
P
a
L
2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面
垂 直。
注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的記法：二面角α -l-β或α -AB-β
3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直 的性質
1、直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
2、兩個平面垂直的性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
第三章 直線與方程
（ 1）直線的傾斜角
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定義： x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與 x軸平行或重合時 ,
我們規定它的傾斜角為 0度。因此，傾斜角的取值范圍是 0°≤α＜ 180°
（ 2）直線的斜率
①定義： 傾斜角不是 90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。 直線的斜率常用 k表示。
即 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當直 線 l與 x軸平行或重合時 , α =0° , k = tan0° =0;
當直線 l與 x軸垂直時 , α = 90° , k 不存在 .
當 時， ； 當 時， ； 當 時， 不存在。
② 過兩點的直線的斜率公式 ： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2）
注意下面四點： (1)當 時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為 90°；
(2)k與 P1、 P2的順序無關；
(3)以后 求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得 ；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。
（ 3）直線方程
①點斜式： 直線斜率 k，且過點
注意： 當直線的斜率為 0°時， k=0，直線的方程是 y=y1。
當直線的斜率為 90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因 l上每一點的橫坐標
都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。
②斜截式： ，直線斜率為 k，直線在 y軸上的截距為 b
③兩點式： （ ）直線兩點 ，
④截矩式： 其中直線 與 軸交于點 ,與 軸交于點 ,即 與 軸、 軸的 截距 分
別為 。
⑤一般式： （ A， B不全為 0）

注意： ○1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如：
平行于 x軸的直線： （ b為常數）； 平行于 y軸的直線： （ a為常數）；
（ 6）兩直線平行與垂直 當 ， 時，
；

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
（ 7）兩條直線的交點
相交
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交點坐標即方程組 的一組解。
方程組無解 ； 方程組有無數解 與 重合
（ 8）兩點間距離公式：設 是平面直角坐標系中的兩個點，
則
（ 9）點到直線距離公式：一點 到直線 的距離
（ 10）兩平行直線距離公式
已知兩條平行線直線 和 的一般式方程為 ： ，
： ，則 與 的距離為
第四章 圓與方程
、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫 圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。
2、圓的方程
（ 1）標準方程 ，圓心 ，半徑為 r；
點 與圓 的位置關系：
當 > ，點在圓外
當 = ，點在圓上
當 < ，點在圓內
（ 2）一般方程
當 時，方程表示圓，此時圓心為 ，半徑為
（ 3）求圓方程的方法：
一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出 a，
b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關系：
直線與圓的位置關系有 相離，相切，相交 三種情況：
（ 1） 設 直 線 ，圓 ，圓心 到 l 的 距 離 為
，則有 ； ；

（ 2）過圓外一點的切線：① k不存在，驗證是否成立② k存在，設點斜式方程，用 圓心到該直線距離
=半徑 ，求解 k，得到方程【一定兩解】
2 2 2
(3)過圓上一點的切線方程：圓 (x-a)+(y-b)=r，圓上一點為 (x0， y0)，則過此點的切線方程為
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2
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r
必修三
：輾轉相除法與更相減損術 （ 1）輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步
驟如下：
① 用較大的數 m除以較小的數 n得到一個商 和一個余數 ； ② 若 ＝ 0，則 n為 m， n的最大公
約數；若 ≠ 0，則用除數 n除以余數 得到一個商 和一個余數 ； ③ 若 ＝ 0，則 為 m， n的最大
公約數；若 ≠ 0，則用除數 除以余數 得到一個商 和一個余數 ；…… 依次計算直至
＝ 0，此時所得到的 即為所求的最大公約數。
（ 2）更相減損術
① 任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用 2約簡；若不是，執行第二步。 ② 以較大的
數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等
為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
（ 3）輾轉相除法與更相減損術的區別：
① 都是求最大公約數的方法，計算上 輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾
轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
② 從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為 0則得到，而更相減損術則以減數與差
相等而得到
8：秦九韶算法與排序 （ 1）秦九韶算法概念：
n n-1
f(x)=anx+an-1x +… .+a1x+a0求值問題
n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3
f(x)=anx+an-1x +… .+a1x+a0=( anx +an-1x +… .+a1)x+a0 =(( anx +an-1x +… .+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即 v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次
多項式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
這樣，把 n次多項式的求值問題轉化成求 n個一次多項式的值的問題。
第二章：統計
：簡單隨機抽樣
類別 共同點 各自特點 相互關系 適用范 圍
簡單隨 抽樣過程 從總體中逐個抽取 總體中的
機抽樣 中每個個體被 個體數較少
系統抽 抽取的機會相 將總體均勻分成幾部分，按 再起時部分抽樣時 總體中的
樣 等 事先確定的規則在各部分抽取 采用簡單隨機抽樣 個數較多
分成抽 經總體分成幾層，分層進行 各層抽樣時采用簡 總體由差
樣 抽取 單隨機抽樣 異明顯的幾部
分組成
：用樣本的數字特征估計總體的數字特征
（ 1）樣本均值：
（ 2）樣本標準差：
用樣本估計總體時，如果抽樣 的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息 ，但從樣本得到的信息
會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。
（ 3）眾數：在樣本數據中，頻率分布最大值所對應的樣本數據（可以是多個）。
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（ 4）中位數：在樣本數據中，累計頻率為 1.5時所對應的樣本數據值（只有一個）。

第三章：概 率
：概率的基本性質
（ 1）必然事件概率為 1，不可能事件概率為 0，因此 0≤ P(A)≤ 1
（ 2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（ 3）若 A∩ B為不可能事件，即 A∩ B= ，那么 稱事件 A與事件 B互斥；
（ 4）若 A∩ B為不可能事件， A∪ B為必然事件，那么稱事件 A與事件 B互為對立事件；
（ 5）當事件 A與 B互斥時，滿足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)；
若事件 A與 B為對立事件，則 A∪ B為必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B)
（ 6）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件 A與事件 B在一次試驗中不會同時發生，
其具體包括三種不同的情形： ① 事件 A 發生且事件 B 不發生； ② 事件 A 不發生且事件 B 發生； ③ 事件 A
與事件 B同時不發生，而對立事件是指事件 A 與事件 B有且僅有一個發生，其包括兩種情形； ④ 事件 A發
生 B不發生； ⑤ 事件 B發生事件 A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件
（ 1）基本事件：基本事件是在一次試驗中所有可能發生的基本結果中的一個，它是試驗中不能再分
的最簡單的隨機事件。
（ 2）基本事件的特點： ① 任何兩個基本事件是互斥的 ② 任何事件（除不可能事件外）都可以表示成
基本事件的和。

4：古典概型：
（ 1）古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數學模型，這種模型滿足兩個條件：
① 試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。 ② 所有基本事件必須是有限個。
（ 2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數；
②求出事件 A所包含的基本事件數，然后利用公式
5：幾何概型
（ 1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件 區域的長度（面積或體積）成比例，
則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；
（ 2）幾何概型的概率公式： ；
（ 3）幾何概型的特點： ① 試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個； ② 每個基本事件出
現的可能性相等．


注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區別是試驗的可能結果不是有限個。其特點是在
一個區域內均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區域的形狀位置無關，值域該區域的大小
有關。如果隨即事件 所在區域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為 0，則它出現的概率為 0，
但它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在區域是全部區域扣除一個單點，則它出現的概率為 1，但他
不是必然事件。

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綜上可得：必然事件的概率為 1；不可能事件的概率為 0。
概率為 1的事件不一定為必然事件；概率為 0的事件不一定為不可能事件。

必修
第一章 三角函數（初等函數二）
、與角 終邊相同的角的集合為
7、弧度制與角度制的換算公式： ， ， ．
8、若扇形的圓心角為 ，半徑為 ，弧長為 ，周長為 ，面積為 ，則 ，
， ．
9、設 是一個任意大小的角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，它與原點 的距離是
，則 ， ， ．
10、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限
余弦為正．
11、三角函數線： ， ， ．
12、同角三角函數的基本關系： y
P T
； v
O M A x
15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：
函
數
性
質
圖
象

定義

域
值
域
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當 當
時， 時，
；當
最 既無最大值也無最
；當
值 小值
時，
時，
．
．
周
期性
奇 奇函數 偶函數 奇函數
偶性
在

在 在
上
上是增函數；
單 是 增 函 數 ； 在
在
調性 上 是 增 函
上是減函數． 數．

上是減函數．
對稱中心 對稱中心
對稱中心

對
稱性 對稱軸 對稱軸
無對稱軸


第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．
數量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度．
零向量：長度為 的向量．
單位向量：長度等于 個單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．
相等向量：長度相等且方向相同的向量．
17、向量加法運算：
⑴ 三角形法則的特點：首尾相連．
⑵ 平行四邊形法則的特點：共起點．

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⑶ 三 角 形 不 等 式 ：
．
⑷ 運算性質：
① 交 換 律 ：
；
② 結合律： ；

③ ．
⑸ 坐 標 運 算 ： 設 ， ，則


．

18、向量減法運算：
⑴ 三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向 量．

⑵ 坐 標 運 算 ： 設 ， ，則
．
設 、 兩點的坐標分別為 ， ，則 ．
23、平面向量的數量積：
⑴ ．零向量與 任一向量的數量積為 ．
⑵ 性質：設 和 都是非零向量，則 ① ． ② 當 與 同向時， ；當 與
反向時， ； 或 ． ③ ．
⑷ 坐標運算：設兩個非零向量 ， ，則 ．
若 ，則 ，或 ．
設 ， ，則 ．
設 、 都 是 非 零 向 量 ， ， ， 是 與 的 夾 角 ， 則
．
第三章 三角恒等變換
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24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ （ ）；
⑹ （ ）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ．
⑵ （ ， ）．
⑶ ．
26、 ，其中 ．
必修
第一章 解三角形
、正弦定理：在 中， 、 、 分別為角 、 、 的對邊， 為 的外接圓的半徑，
則有 ．
2、正弦定理的變形公式： ① ， ， ；
② ， ， ； ③ ；
④ ．
（正弦定理主要用來解決兩類問題： 1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。 2、已知兩角和
一邊，求其余的量。）
3、三角形面積公式： ．
4、余弦定理：在 中，有 ， ， ．
5、余弦定理的推論： ， ， ．
(余弦定理主要解決的問題： 1、已知兩邊和夾 角，求其余的量。 2、已知三邊求角 )
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6、如何判斷三角形的形狀：設 、 、 是 的角 、 、 的對邊，則： ① 若 ，
則 ；
② 若 ，則 ； ③ 若 ，則 ．
附：三角形的四個“心”；
重心：三角形三條中線交點 .
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點 .
內心：三角形三 內角的平分線相交于一點 .
垂心：三角形三邊上的高相交于一點
第二章 數列
、如果一個數列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，
這個常數稱為等差數列的公差．符號表示 : 。注：看數列是不是等差數列有以下三種方法：
① ② 2 ( ) ③ ( 為常數
12、由三個數 ， ， 組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則 稱為 與 的等差中項．若
，則稱 為 與 的等差中項．
13、若等差數列 的首項是 ，公差是 ，則 ．
14、通項公式的變形： ① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ．
15、 若 是等差數列， 且 （ 、 、 、 ），則 ；若 是
等差數列，且 （ 、 、 ），則 ．
16 、 等 差 數 列 的 前 項 和 的 公 式 ： ① ； ② ．③

18、如果一個數列從第 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，
這個常數稱為等比數列的公比．符號表示： （注：①等比數列中不會出現值為 0的項 ；②同號位
上的值同號）
注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：
① ② ( ， )

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③ ( 為非零常數 ).
④ 正數列 { }成等比的充要條件是數列 { }（ ）成等比數列 .
19、在 與 中間插入一個數 ，使 ， ， 成等比數列，則 稱為 與 的等比中項．若 ，
則稱 為 與 的等比中項．（注：由 不能得出 ， ， 成等比，由 ， ， ）
20、若等比數列 的首項是 ，公比是 ，則 ．
21、 通項公式的變形 ： ① ；
22、若 是等比數列，且 （ 、 、 、 ），則 ；若 是等比
數列，且 （ 、 、 ），則 ．
23 、 等 比 數 列 的前 項 和 的 公 式 ： ① ．②

24、 對任意的數列 { },?} N?
? >FJN? ,??3+ ?
③ 非零 ． ． 常數列既可為等比數列，也可為等差數列 .（不是非零，即不可能有等比數列）
附：數列求和的常用方法
公式法 :適用于等差、 等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法 :適用于 其中 { }是各項不為 0 的等差數列， c 為常數；部分無理數列、含
階乘的數列等。
3.錯位相減法 :適用于 其中 { }是等差數列， 是各項不為 0的等比數列。
4.倒序相加法 : 類似于等差數列前 n項和公式的推導方法 .












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第三章 不等式

一元二次不等式的求解：

特例① 一元一次不等式 ax>b解的討論；
2
②一元二次不等式 ax+bx+c>0(a>0)解的討論 .

二次函數
（ ）的圖
象
一元二次方程 有兩相等實根
有兩相異實根
無實根






對于 a<0的不等式可以先把 a化為正后用上表來做即可。
11、設 、 是兩個正數，則 稱為正數 、 的算術平均數， 稱為正數 、 的幾何平均數．
12、 均值不等式定理 ： 若 ， ，則 ，即 ．
13、 常用的基本不等式 ：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
14、極值定理：設 、 都為正數，則有：
⑴ 若 （和為定值），則當 時，積 取得最大值 ． ⑵ 若 （積為定值），則當
時，和 取得最小值 ．

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