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高考中三次函數圖象的切線問題探究
三次函數的切線蘊含著許多美妙的性質，用導數方法探求切線的性質，為分析問題和解決問題提供了新的視角、新的方法，不僅方便實用，而且三次函數的切線性質變得十分明朗.縱覽近幾年高考數學試題，三次函數的切線問題頻頻出現，本文給出三次函數切線的三個基本問題.
一、已知斜率為與三次函數圖象相切的切線
三次函數
1、,斜率時，有且只有一條切線；
時，有兩條不同的切線；
時，沒有切線；
2、,斜率時，有且只有一條切線；
時，有兩條不同的切線；
時，沒有切線；
證明
1、 當時，
當 時，方程有兩個相同解，
所以斜率為的切線有且只有一條；其方程為：
當時，方程，有兩個不同的解，且=-，即存在兩個不同的切點，且兩個切點關于三次函數圖象對稱中心對稱。所以斜率為的切線有兩條。
當時，方程無實根，所以斜率為的切線不存在。
2、時，讀者自己證明。
二、過三次函數圖象上一點的切線
設點P為三次函數圖象上任一點，則過點P一定有直線與的圖象相切。若點P為三次函數圖象的對稱中心，則過點P有且只有一條切線；若點P不是三次函數圖象的對稱中心，則過點P有兩條不同的切線。
證明 設 過點P的切線可以分為兩類。
1 P為切點
切線方程為：
P不是切點，過P點作圖象的切線，切于另一點Q（）
又 （1）
即 代入（1）式
得
討論：當時，
，也就是說，
當時，兩切線重合，所以過點P有且只有一條切線。
當時，，所以過點P有兩條不同的切線。
其切線方程為：
由上可得下面結論：
過三次函數上異于對稱中心的任一點作圖象的切線，切于另一點，過作圖象的切線切于，如此繼續，得到點列--------，則，且當時，點趨近三次函數圖象的對稱中心。
證明 設過與圖象切于點的切線為，
又
=
即
設 則
數列是公比為的等比數列， 即 。
三、過三次函數圖象外一點的切線
設點為三次函數圖象外
則過點一定有直線與圖象相切。
若則過點恰有一條切線；
（2） 若且，則過點恰有一條切線；
（3） 若且=0，則過點有兩條不同的切線；
（4）若且，則過點有三條不同的切線。
其中
證明 設過點作直線與圖象相切于點
則切線方程為 把點代入得：
，
設
令則
因為恰有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調函數或兩極值同號，所以或且時，過點恰有一條切線。
有兩個不同實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以且=0時，過點有兩條不同的切線。
有三個不同實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號。所以且時，過點有三條不同的切線。

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