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高考導數?？?、易錯、失分點分析
【易錯點1】復合函數的求導
例1、函數 的導數為 。
【易錯點診斷】復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數，即。
解析：
.
【迷津指點】掌握復合函數的求導方法關鍵在于分清函數的復合關系，適當選定中間變量，分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中要特別注意的是中間變量的系數。
[適用性練習]
（1）設是函數的一個極值點。
（1）求與的關系式（用表示）答案：.
（2）y=ln（x＋）
答案: y′=·（x＋）′=（1＋）=.
【易錯點2】關于導數的幾何意義(還有一個易錯題)
例2、曲線在點處的切線方程為 。
【易錯點診斷】此題易由，從而得到以A點為切點的切線的斜率為3，即所求切線方程為的錯誤結果，事實上要注意到點A不在曲線S上。
解析：設過點A的切線與曲線S切于點處，由于由導數的幾何意義可知切線的斜率①，又由兩點連線的斜率公式知②，聯立①②得，從而切線的斜率=-9，故切線方程為。
【迷津指點】在確定曲線在某點處切線的方程時，一定要首先確定此點是否在曲線上，若此點在曲線上，則曲線在該點處切線的斜率即為該點的導數值，若此點不在曲線上，則需按照上述方法即應先設切點，再求斜率，寫出直線的方程的方法解答。特別的若涉及到直線與圓錐曲線相切一類問題除可采用導數知識解答外，還可采用代數方法即應用判別式的方法來解答，這一類巧借導數幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現。
【適用性練習】
（1）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（） （A） （B） （C） （D）
解：，設切點坐標為，則切線的斜率為2，且
于是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得
＝0或－4，代入可驗正D正確。選D
（2）曲線在點處的切線方程是
（A） （B） （C） （D）
解：曲線，導數，在點處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D.
（3）已知曲線，求過點P（2，4）的切線方程.
解:∵ P（2，4）在曲線上,當切點為P（2，4）時, ,
∴過點P（2，4）的切線方程為;當切點不是P（2，4）
時,設切點為,則,又(),
∴,即,
又,∴,
即,,
,,又
∴∴切點為,∴過點P（2，4）的切線方程為.
綜合得過點P（2，4）的切線方程為或.
【易錯點3】有關函數的單調區間
例3、已知函數 ，求函數單調區間。
【易錯點診斷】求函數的單調區間要樹立定義域優先的原則，本題易由得出函數為單調遞增函數的錯誤結論。
解析：據解析式可知函數定義域為，由于,故函數在和上分別為增函數.
【迷津指點】單調區間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導數 （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間，對于函數單調區間的合并:函數單調區間的合并主要依據是函數在單調遞增，在單調遞增，又知函數在處連續，因此在單調遞增。同理減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二區間就可以合并為以個區間。
【適用性練習】
（1）設函數f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間。
答案:當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.
（2）已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
解：（I），則
因為函數h(x)存在單調遞減區間，所以<0有解,又因為x>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當a>0時，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；
②當a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1【易錯點4】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。
例4、已知函數上是減函數，求a的取值范圍。
【易錯點診斷】是在內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。
解析：求函數的導數（1）當時，是減函數，則故解得。（2）當時，易知此時函數也在R上是減函數。（3）當時，在R上存在一個區間在其上有，所以當時，函數不是減函數，綜上，所求a的取值范圍是。
【迷津指點】若函數可導，其導數與函數的單調性的關系現以增函數為例來說明：①與為增函數的關系:能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。②時，與為增函數的關系:若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。∴當時，是為增函數的充分必要條件。③與為增函數的關系:為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區間內恒有，則為常數，函數不具有單調性?！嗍菫樵龊瘮档谋匾怀浞謼l件。函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。因此本題在第一步后再對和進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。
【適用性練習】
（1）設為實數，函數在上是增函數，求的取值范圍。
解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判別式△=4a2－12a2+12=12－8a2.
(ⅰ)若△=12－8a2,即時恒有即f(x)在(－∞,+∞)為增函數.
(ⅱ) △12－8a2>0,即－（2）是否存在這樣的K值，使函數在上遞減，在上遞增？
答案：。（提示據題意結合函數的連續性知，但是函數在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗。）
（3）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）0，則必有（ ）
f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）
C. f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）
解：依題意，當x1時，f（x）0，函數f（x）在（1，＋）上是增函數或常數函數；當x1時，f（x）0，f（x）在（－，1）上是減函數或常數函數，故當函數為常數函數函數時f（0）＋f（2）=2f（1）,當函數為非常數函數時易知f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）>f（1），f（2）>（1），此時f（0）＋f（2）>2f（1）,故有f（0）＋f（2）2f（1）,選C(此題易誤選D)
（4）已知函數f(x) = 在(－2，＋∞)內單調遞減，求實數a的取值范圍。
提示:錯誤的主要原因是由于對于函數f(x)在D上單調遞增（或遞減）的充要條件是
f1(x)(或f1(x))且f1(x)在D任一子區間上不恒為零沒有理解。而當a=時fl(x)=0在
(-2,+ )恒成立，所以不符合題意，所以舍去。答案:
【易錯點5】有關函數的極值與最值
例5、函數在時有極值10，則的值為 。
【易錯點診斷】要明確函數的極值與導數對應的方程的根之間的關系，即＝0是為極值點的必要而不充分條件，檢驗這一步驟必不可少。
解析：，由于當時函數取得極值10，故必有①；②;聯立①②得或，但當時，，此時，此時雖有，但由極值定義可知當時函數值不是極值，故。
【迷津指點】是極值點的充要條件是點兩側導數異號，即若在方程的根的左右的符號：“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。對于給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！
【適用性練習】
①已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=－1,
①試求常數a、b、c的值；
②試判斷x=±1是函數的極大值還是極小值，并說明理由.
答案:（1）a=,b=0,c=－.（2）∴x=－1時，f（x）有極大值；x=1時,f（x）有極小值.
②函數f (x) = (x2－1)3＋2的極值點是（ ）
A、x=2 B、x=－1 C、x=1或－1或0 D、x=0(答案:D)
③函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值。
④函數當時。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 （ ）
有極大值B. 有極小值C.即無極大值，也無極小值D.無法判斷
解析：，函數都單調遞增，所以不是極值點.答案:C
⑤函數在處有極值10, 則點為 （ ）
A. B. C. 或 D.不存在
⑤.答案:B;解析:據題意知或,但當時,函數在處不存在極值.

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