資源簡介

附件2：
四川省普通高中數學學科學業水平考試要求及說明
（試行）
一、考試性質
四川省普通高中數學學科學業水平考試是完成數學學科畢業水平學習的高中生和具有同等學力的考生參加的全省統一的普通高中學業水平考試，是面向全體普通高中和具有同等學力的在校學生和社會青年的達標性考試．
考試結果既是衡量學生在該課程的學習中是否達到課程標準的主要依據，也是學生學業水平認定的重要依據．《數學課程標準》作為學科教學的綱領性文件，它明確了高中數學課程的總體目標是“使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要”．學業水平考試就是要全面考查和評估我省普通高中學生的數學學業水平是否達到了這個要求．
普通高中新課程實驗數學學科學業水平考試是用于衡量學生實際水平的參照性測驗，而不是用于確定學生在群體中相對水平位置的甄別性選拔考試，因而測驗的重點應放在數學基礎知識、基本思想方法及核心能力的形成上．
二、 指導思想
普通高中新課程實驗數學學科學業水平考試的命題，是以教育部制定的《數學課程標準》為依據，參照《四川省普通高中數學學科教學指導意見(試行)》及《四川省普通高中數學學科教學基本要求(試行)》的精神，結合我省教學實際情況，全面考查學生是否在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀方面達到課程目標所規定的要求．
教師的專業素養是實現課程總體目標的重要因素．通過學業水平考試，要對我省普通高中數學教師的專業發展狀況，做出合理評價，促進教師教學方式的不斷改進和完善，引導日常教學擺脫應試教育的模式．隨著社會的進步，“未來公民所必要的數學素養”在變化，學業水平考試要有利于學生學習方式的改變，并引導社會、學校和家庭關注學生的全面發展，形成正確的質量觀和人才觀．
三、 考試內容和要求
1．數學思想方法、數學能力與要求
⑴ 數學思想方法
數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中．對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，主要考查函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想．對數學思想方法的考查要與數學知識的考查緊密結合進行，通過數學知識的考查，反映學生對數學思想方法的理解和掌握程度．考查時，要從學科整體意義上考慮，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測學生對中學數學知識中所蘊含的數學思想方法的掌握程度．
⑵ 數學能力
能力主要是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識．
① 空間想象能力：能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變形；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質．
② 抽象概括能力：對具體的實例，通過抽象概括，能發現研究對象的本質屬性；并從給定的信息材料中，概括出一般性結論，同時能將其用于解決問題或作出新的判斷．
③ 推理論證能力：推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法．應學會運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明．會根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題真實性．
④ 運算求解能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求借助計算器對數據進行估計和近似計算．
⑤ 數據處理能力：會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷．數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定實際問題．
⑥ 應用意識：能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能理解問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題；能應用相關的數學方法解決問題進而加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明．應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決．
⑦ 創新意識：對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題．
2．數學探究、數學建模與數學文化
數學探究、數學建模、數學文化是貫穿于整個高中數學課程的重要內容，這些內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中．《數學課程標準》要求高中階段至少各應安排一次較為完整的數學探究、數學建模活動．
數學探究和數學建模都是高中數學課程中引入的新的學習方式．數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程．這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明．數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程．
數學探究有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力．
數學建模為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力．
數學是人類文化的重要組成部分．數學是人類社會進步的產物，也是推動社會發展的動力．通過在高中階段數學文化的學習，學生將初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值、人文價值，開闊視野，尋求數學進步的歷史軌跡，激發對于數學創新原動力的認識，受到優秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識．
3．知識范圍與要求
四川省普通高中數學學業水平考試實行文理科同卷同內容的考試方式，內容包括必修部分所有內容和選修系列1與系列2 中相同內容部分．
根據《數學課程標準》的要求，將其中所涉及的知識點的能力層級由低到高分為“了解(知道、識別、模仿等)”、“理解(描述，說明，表達，推測，想像，比較，判別，會求，會解，初步應用等)”和“掌握(掌握，導出，分析，推導，證明，研究，討論，選擇，決策，解決問題等)”三個層次并分別用A、B、C表示．
能力層級 了解 理解 掌握
符 號 A B C
A——了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內容是什么，能按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能(或會)在有關的問題中識別和認識它．
B——理解：要求對所列知識內容有較深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系，能夠對所列知識作正確的描述說明并用數學語言表達，能夠利用所學的知識內容對有關問題進行比較、判別、討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力．
C——掌握：要求能夠對所列的知識內容進行推導、證明，能夠利用所學知識對問題進行分析、研究、討論，并能運用所學過的知識分析日常生活或生產實踐中的問題．
下面為考試內容對應的考查能力層級要求：
模塊 內 容 能力層級 備 注
A B C
數學1 集合的含義 √
集合之間的包含與相等的含義 √
全集與空集的含義 √
兩個集合的并集與交集的含義及計算 √
補集的含義及求法 √
用Venn圖表示集合的關系及運算 √
函數的概念 √
求簡單函數的定義域和值域 √
函數的表示法 √
簡單的分段函數及應用 √
函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義 √ 關注學科內綜合
奇偶性的含義 √
利用函數的圖象理解和探究函數的性質 √ 關注探究過程
有理指數冪的含義 √
冪的運算 √
指數函數的概念及其意義；指數函數的單調性與特殊點 √
指數函數模型的應用 √ 關注實踐應用
對數的概念及其運算性質 √
換底公式的應用 √
對數函數的概念及其意義；對數函數的單調性與特殊點 √
指數函數與對數函數互為反函數 √
冪函數的概念 √
函數的零點與方程根的聯系 √
用二分法求方程的近似解 √ 關注探究過程
函數的模型及其應用 √ 關注實踐應用
數學2 柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征 √
簡單空間圖形的三視圖的畫法及三視圖的識別 √
斜二測法畫空間圖形的直觀圖 √
應用平行投影與中心投影畫空間圖形的視圖與直觀圖 √
球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式 √
空間點、線、面的位置關系的四個公理和一個定理 √
直線與平面、平面與平面的平行或垂直的判定和性質 √
運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題 √
直線的傾斜角及斜率的概念 √
過兩點的直線的斜率的計算公式 √
利用斜率判斷直線的平行與垂直 √
直線方程的三種形式：點斜式、兩點式和一般式 √ 關注探究過程
兩直線交點坐標的求法 √
兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，兩平行線間的距離 √
圓的標準方程和一般方程 √
直線與圓以及圓與圓的位置關系 √ 關注學科內綜合
直線和圓的方程的簡單應用 √ 關注實踐應用
空間直角坐標系的概念 √
用空間直角坐標系刻劃點的位置 √
空間兩點間的距離公式 √
數學3 算法的思想和含義 √
程序框圖的三種基本邏輯結構 √ 關注探究過程
五種基本算法語句 √
隨機抽樣的必要性和重要性 √
用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本 √
分層抽樣和系統抽樣方法 √
列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖 √ 關注實踐應用
樣本數據標準差的意義和作用 √
合理選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征，并能做出合理的解釋 √
用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的數字特征估計總體的數字特征 √
隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的基本思想的實際應用 √ 關注實踐應用
散點圖的作法 √
利用散點圖直觀認識變量之間的相關關系 √
最小二乘法 √
根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程 √
概率的意義及頻率和概率的區別 √
兩個互斥事件的概率加法公式及應用 √ 關注實踐應用
古典概型及其概率的計算公式，用列舉法計算概率 √
幾何概型的意義 √
數學4 任意角的概念和弧度制 √
弧度與角度的互化 √
任意角三角函數的定義 √
正弦、余弦、正切函數的誘導公式 √
正弦、余弦、正切函數的圖象畫法及性質的運用 √ 關注探究過程
三角函數的周期性 √
同角三角函數的基本關系式 √
的實際意義 √
三角函數模型的簡單應用 √ 關注實踐應用
平面向量和向量相等的含義及向量的幾何表示 √
向量加、減法的運算及其幾何意義 √
向量數乘的運算 √
向量數乘運算的幾何意義及兩向量共線的含義 √
向量的線性運算性質及其幾何意義 √
平面向量的基本定理及其意義 √
平面向量的正交分解及其坐標表示 √
用坐標表示平面向量的加、減及數乘運算 √
用坐標表示平面向量共線的條件 √
平面向量數量積的含義及其物理意義 √ 關注探究過程
平面向量的數量積與向量投影的關系 √
平面向量數量積的坐標表達式及其運算 √
運用數量積表示兩個向量的夾角，并判斷兩個平面向量的垂直關系 √ 關注學科內綜合
平面向量的應用 √ 關注學科間聯系
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 √
二倍角的正弦、余弦、正切公式 √
運用相關公式進行簡單的三角恒等變換 √
數學5 正弦定理、余弦定理及其運用 √ 關注實踐應用
數列的概念和簡單的表示法 √
等差數列、等比數列的概念 √
等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式 √
數列方法的應用 √ 關注學科內綜合
一元二次不等式的概念 √
解一元二次不等式 √
二元一次不等式的幾何意義 √
用平面區域表示二元一次不等式組 √
兩個正數的基本不等式 √
兩個正數的基本不等式的簡單應用 √ 關注學科內綜合
選修 常用邏輯用語 命題的逆命題、否命題與逆否命題、四種命題的關系 √
必要條件、充分條件與充要條件 √ 關注學科內綜合
邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義 √
全稱量詞與存在量詞的意義 √
圓錐曲線與方程 橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質 √ 關注學科內綜合
拋物線、雙曲線的定義、幾何圖形、標準方程和簡單幾何性質 √
圓錐曲線的簡單應用 √ 關注學科內綜合
導數及應用 導數的概念 √
導數的幾何意義 √ 關注實踐應用
由導數定義求函數 的導數 √
用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數 √
導數公式表 √
用導數研究函數的單調性 √
求不超過三次的多項式函數的單調區間 √
求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值以及在給定區間上不超過三次的多項式函數的極大值、極小值 √ 關注學科內綜合
數系的擴充與復數的引入 數系的擴充 √
復數的基本概念以及復數相等的充要條件 √
復數的代數表示法及其幾何意義 √
復數代數形式的四則運算 √
復數代數形式的加、減運算的幾何意義 √
4．情感態度與價值觀要求
學生個體的情感、態度和價值觀是學生的個性品質．要求學生具有一定的數學視野，認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎思維的習慣，體會數學的美學意義．對學生情感、態度和價值觀的具體考察方法與內容融入試題之中．
四、考試形式及試卷結構
1．考試形式、考試時間及試卷滿分
考試方式 紙筆測試；閉卷
考試時間 90分鐘
試卷滿分 100分
2．試卷結構
⑴ 試卷內容大至比例
基本原則：注重基礎，注重教材，注重能力，注重應用，突出主干知識，突出數學思想方法，知識覆蓋面達到75%左右．
⑵ 試卷題型比例
題 型 題 量 分 值
選擇題 10小題 40分
填空題 4小題 16分
解答題 5小題 44分
⑶ 試題難易比例
全卷總體難度系數大致控制在0.75左右．各題型難度系數及大致比例如下：
難度級別 容易題 稍難題 難題
難度系數 0.8以上 0.65—0.8 0.50—0.65
約占比例 70% 20% 10%
五、題型示例
1．選擇題：在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
【例1】 cos1110°的值是
(A) - (B) (C) - (D)
【分析】 根據誘導公式，將1110°轉化為(0°，360°)或(0°，90°)：cos1110°= cos(3×360°+30°)=cos30°=．
【答案】 (B)．
【說明】 本題主要考查誘導公式(終邊相同的角的關系)、特殊角的三角函數值，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例2】 復數
(A) (B) (C) (D)
【分析】 復數的四則運算，按法則進行：．
【答案】 (C)．
【說明】 本題主要考查復數的代數運算，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例3】 下列函數中，定義域為R的是
(A) y= (B) y=log2x (C) y=x3 (D) y=
【分析】 由于各選項給出的均是具體的基本初等函數，考察函數自變量的取值范圍即可．
【答案】 (C)．
【說明】 本題主要考查基本初等函數的定義域，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例4】 若，則
(A) (B) (C) (D)
【分析】 判斷給定兩個數集的關系，可以結合數軸直觀．顯然，(A)(B)不正確，由得，∴，故選(D)．
【答案】 (D)．
【說明】 本題主要考查集合與集合的關系，補集的求法，能力要求層次為理解，屬于容易題．
【例5】 數列的前項和為，若，則
(A) (B) (C) (D)
【分析】 已知，求(或具體的前n項和)，可以直接運用公式，或觀察的特征，選用相應的方法．這里采用裂項相消處理．
【答案】 (A)．
【說明】 本題主要考查數列通項和前n項和的關系(求法)，能力要求層次為了解，屬于容易題．因為問題要求的是，除采用根據通項求和的方法外，還可以采用逐一求出、、…、的方法獲得答案．
【例6】 函數的零點所在的區間是
(A) (B) (C) (D)
【分析】 由零點存在性定理，若零點所在區間為(a,b)，則f(a)f(b)<0．于是，從判斷區間端點函數值的符號入手解題．，，故選(C).
【答案】 (C)．
【說明】 本題主要考查函數零點存在性定理的運用，能力要求層次為了解，屬于容易題．在這里，函數f(x)單調遞增，有且僅有一個零點．
【例7】 已知向量，，則
(A) (B) (C) 20 (D) 40
【分析】 根據已知，先由坐標運算求出向量b=(2，-4)，再求其模．
【答案】 (A)．
【說明】 本題主要考查向量的坐標運算及向量的模，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例8】 將函數的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的一半，縱坐標不變，所得圖象對應的函數的最小正周期為
(A) 4π (B) 2π (C) π (D)
【分析】 根據函數圖象變換與解析式相應變化的關系，“橫坐標縮小為原來的一半，縱坐標不變”對應“2x代換x”，函數變為，選(C)．
【答案】 (C)．
【說明】 本題主要考查三角函數圖象(變換)與性質(周期)，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例9】若一個幾何體的三視圖都是三角形，則這個幾何體是
(A) 圓錐 (B) 四棱錐 (C) 三棱錐 (D) 三棱臺
【分析】 由正視圖與側視圖都是三角形，說明幾何體為錐體，再由俯視圖也是三角形，說明底面是三角形，所以幾何體為三棱錐．
【答案】 選擇(C)．
【說明】 本題主要考查三視圖，對幾何體的形狀進行判斷，考查學生的空間想象能力，能力層次要求為了解，屬于容易題．
【例10】 兩條直線與的位置關系是
(A) 平行 (B) 垂直 (C) 相交且不垂直 (D) 重合
【分析】 由兩直線方程的系數關系判斷其位置關系,因為對應系數的積之和：，所以這兩條直線是垂直的．
【答案】 (B)．
【說明】 本題主要考查兩條直線垂直的判定，應用意識，能力層次要求為理解，屬于容易題．
【例11】 已知是第四象限角，則方程表示的曲線是
(A) 焦點在軸上的橢圓 (B)焦點在軸上的橢圓
(C) 焦點在軸上的雙曲線 (D)焦點在軸上的雙曲線
【分析】 根據所在象限，確定出的符號，再根據方程的形式判斷屬于那類曲線．因為是第四象限角，所以<0，所以方程表示焦點在y軸上的雙曲線．
【答案】 (D)．
【說明】 本題主要考查三角函數的符號，雙曲線的定義，特殊與一般的思想，能力層次要求為了解，屬于容易題．
【例12】 已知拋物線上的一點P到y軸的距離為2，則點P到此拋物線的焦點的距離是
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【分析】 已知拋物線上的點，求焦點弦問題，都是根據拋物線的定義解決問題．根據拋物線的定義知，點P到焦點的距離等于點P到準線的距離，而準線到y軸的距離為1，點P到y軸距離為2，所以點P到準線的距離3．
【答案】 (C)．
【說明】 本題主要考查拋物線的定義，數形結合的思想，化歸與轉化的思想，應用意識，能力層次要求為理解，屬于容易題．
【例 13】 如圖所示的程序框圖，如果輸入三個實數a，b，c，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白處的判斷框中，應該填入下面四個選項中的(注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“”或“：=”)
(A) c>x (B) x>c
(C) c>b (D) b>c
【分析】 正確理解“輸入三個實數a，b，c，要求輸出這三個數中最大的數”的含義是解決本題的關鍵．
【答案】 (A)．
【說明】 本題主要考查框圖中的條件結構，識圖能力以及觀察、推理的能力，能力要求層次為理解，屬于容易題．
【例14】 下列說法正確的是
(A) 事件A，B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大
(B) 事件A，B同時發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率小
(C) 互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件
(D) 互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
【分析】 根據并事件、交事件、互斥事件和對立事件的定義進行判斷．
【答案】 (D)．
【說明】 本題主要考查并事件、交事件、互斥事件和對立事件的定義，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例15】 函數的圖象關于直線y=x對稱的圖象大致是
【分析】 的圖象過點，且單調遞減，故它關于直線y=x對稱的圖象過點且單調遞減，選(A)．
【答案】 (A)．
【說明】 本題主要考查指數函數的圖象及圖象的對稱變換，能力要求層次為理解，屬于中檔題．解答本題還有兩種思路：一是作出函數的圖象，再作其對稱圖形；二是利用互為反函數的兩個函數的圖象關系(其反函數為)．
【例16】 若為實數，則“”是“”的
(A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件
(C) 充分必要條件 (D) 既不充分也不必要條件
【分析】 充分必要條件的判斷，應注意分析“甲”能否推出“乙”、“乙”能否推出“甲”，進行推證時，還應充分運用到特例和反例．對于本例，當，時，有；反過來，當，時，則有，∴“”是“”的既不充分也不必要的條件.
【答案】 (D)．
【說明】 本題主要考查充要條件的概念及其判斷，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例17】 若，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是
(A)， (B)，
(C)，，共面 (D)，，共點，，共面
【分析】 借助正方體各棱的位置關系，可舉出A，C，D三個選項的反例，說明不成立，如共面，B選項顯然成立，如不共面，由，，根據異面直線所成角知與所成角為90°．
【答案】 (B)．
【說明】 本題主要考查空間直線的位置關系，化歸與轉化的思想，空間想象能力和推理論證能力，能力層次要求為理解，屬于中檔題．
2．填空題：將答案直接填在題中橫線上．
【例18】 已知集合，集合，則的一個非空子集是___________．
【分析】 由已知，．
【答案】 、或(填其中一個即可)．
【說明】 本題主要考查集合的運算(求交集)、對給定集合子集的識別，能力層次要求為理解，屬于容易題．
【例19】 已知函數那么f(4)的值為____________
【分析】 求各段函數已知的分段函數的函數值，基本方法是根據自變量的范圍代入相應解析式．∵4>0，∴ ．
【答案】 2．
【說明】 本題主要考查(分段)函數值的求法、簡單的對數運算，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例20】 某校高中一、二、三年級的學生分別有800名，1200名，1000名，現用分層抽樣的方法從其中抽取一個容量為750的樣本，則從高中二年級抽取的人數為____________ .
【分析】 總體是由差異明顯的部分組成，根據問題要求采用的抽樣方法為分層抽樣，故按比例計算各年級抽取的人數．
【答案】 ．
【說明】 本題主要考查分層抽樣的方法及相關計算，抽樣方法的合理性及統計的思想，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例21】 命題“如果函數f(x)是偶函數，那么它的圖象關于y軸對稱”的逆命題是____________.
【分析】 構造簡單命題的逆命題，只需交換命題的條件和結論．
【答案】 如果函數f(x)的圖象關于y軸對稱，那么它是偶函數．
【說明】 本題主要考查命題的幾種形式的關系，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例 22】 如圖是某中學高二年級舉辦的演講比賽上，七位評委為某選手打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的中位數為 .
【分析】 去掉一個最高分93分和一個最低分79分后，余下的五個分數依次是：84，84，85，86，87，中位數是85.
【答案】 85．
【說明】 本題主要考查用莖葉圖分析問題的方法，閱讀圖表的能力，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例23】 某人早上醒來的時候發現表停了，如果他打開收音機收聽電臺報時，他等待的時間不多于10分鐘的概率是____________.
【分析】 利用幾何概型的定義和幾何概型公式求解．
【答案】 ．
【說明】 本考查古典概型和幾何概型的識別，解決應用問題的意識和能力，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例24】 若角的終邊經過點，且，則______．
【分析】 已知角的終邊上的點和三角函數值，運用定義建立關系： =，解得m=-1．
【答案】 -1．
【說明】 本題主要考查三角函數的定義，能力要求層次為了解，屬于容易題．在課標及教材中，強調單位圓在理解定義、性質中的作用，三角函數的定義是以角的終邊和單位圓的交點建立的．解答中根據定義得到等式時運用了： (其中，(1，y0)為角的終邊與單位圓的交點，(x，y)為終邊上異于原點的點)．
【例25 】 當輸入的x的值為-5，下列程序運行的結果等于_________．
【分析】 該程序用了輸入語句、條件語句、賦值語句和輸出語句進行算法描述.
【答案】 5．
【說明】 本題主要考查輸入語句、條件語句、賦值語句和輸出語句的功能和數學閱讀理解的能力，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例26】 向量，，與的夾角為，則________．
【分析】 由聯系題設各量的向量數量積公式變形即得．
【答案】 -10．
【分析】 本題主要考查向量數乘的運算，能力要求層次為了解，屬于容易題．
【例27】 若變量x，y滿足約束條件，則的最小值是_________．
【分析】 根據已知的約束條件畫出可行域，結合圖形即得答案．
【答案】 -6．
【說明】 本題主要考查基本的線性規劃問題，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例28】 經過點P(3，0)且長軸長是短軸長的3倍的橢圓的標準方程為________________.
【分析】 由于焦點位置不確定，需要分情況討論，再根據P點坐標得出a或者b，從而得出橢圓的標準方程．當焦點在x軸上時，有a=3，b=1，此時橢圓方程為，當焦點在y軸上時，有b=3，a=9，此時橢圓方程為．
【答案】 ，．
【說明】 本題主要考查橢圓的標準方程，分類與整合的思想，應用意識，能力層次要求為理解，屬于中檔題．
【例29】 函數，的單調遞增區間是________．
【分析】 根據正弦函數的單調性解答．令z=，而函數y=sinz的單調遞增區間是．由，得 ，．
【答案】 ．
【說明】 本題主要考查三角函數的單調性，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例30】 如圖，在正方體中，，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于_____________．
【分析】 由線面平行得出線線平行，知EF為三角形DAC的中位線，再根據中位線定理求值．因為，，且平面與平面的交線為，所以，又點為的中點，所以為的中位線，所以．因為，為正方形，所以，所以．
【答案】 ．
【說明】 本題主要考查線面平行的性質，三角形中位線定理，化歸與轉化的思想，空間想象能力與推理論證能力，能力層次要求為理解，屬于中檔題．
【例31】 已知一隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛入這個隧道？你作出的判斷是________(填“能”或“不能”)．
【分析】 建立坐標系，根據圓的方程求出對應點的縱坐標，再與車的高度進行比較，作出合理判斷．如圖，以半圓的圓心為坐標原點，其直徑所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則半圓的方程為：．令x=2.7，則．
∵，∴貨車不能駛入此隧道．
【答案】 不能．
【說明】 本題主要考查建立適當的坐標系解決實際問題，圓的標準方程，數形結合的思想，數據處理能力和應用意識．能力層次要求為理解，屬于中檔題．這個題目的特點是緊密聯系學生的生活，情境簡單符合學生的認知水平，通過對復雜的實際事物適當簡化，使得題目即有趣味又具有思想性(坐標法思想)，這是解析幾何的核心思想方法．
【例32】 對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x－1)0，則f(0)＋f(2)與2f(1)的大小關系為_________________.
【分析】 研究函數值的大小關系，從單調性入手．依題意，當x1時，f (x)0，函數f(x)在(1，＋)上是增函數；當x1時，f (x)0，f(x)在(－，1)上是減函數，故f(x)當x＝1時取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故f(0)＋f(2)2f(1)．
【答案】 f(0)＋f(2)2f(1)．
【說明】 本題主要考查導數性質的應用(導函數的函數值取值與單調性的關系)，能力要求層次為掌握，屬于較難題．
【例33】 若函數的定義域為A，當且時，總有，則稱為單函數．例如，函數=2x+1()是單函數．給出下列命題：①函數(xR)是單函數；②指數函數(xR)是單函數；③若為單函數，且，則；④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數．其中所有真命題的序號是___________．
【分析】 這是“多選多”型填空題，一般需要逐一分析判斷．在判斷中，應注意特例和反例的靈活運用．對于①，若，則，不滿足；②是單函數；命題③實際上是單函數命題的逆否命題，故為真命題；根據定義，命題④為真．
【答案】 ②、③、④．
【說明】 本題以數學新概念為背景，從單函數概念出發，考查學生的閱讀能力、理解能力、思維能力、推理能力和創新意識．能力要求層次為掌握，屬于較難題．
3．解答題： 解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
【例34】 某人有4把鑰匙，其中有兩把能夠打開房門．現隨機地取一把鑰匙試著開門，不能打開的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是多少？如果試過的鑰匙不扔掉，這個概率又是多少？
【分析】 每把鑰匙打開門的概率都是相同的，并且試驗結果是有限的，故本題是古典型概率問題．
【答案】 ，．
【說明】 本考查古典概型的識別及學生的實際應用意識，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例35】 在等差數列中，，．求：
(Ⅰ) 數列的通項公式；
(Ⅱ) 求的值．
【分析】 已知等差數列的兩個等式，利用等差數列的基本關系建立方程即可得到等差數列的基本量，從而求得通項公式等．
【答案】 (Ⅰ) 方法一：設數列的公差為d，
則 解得=3，.
故數列的通項公式．
方法二：由，得，∴．
又∵，∴公差．由，∴=3．
故數列的通項公式．
(Ⅱ) 方法一：由題知、、、…、是以為首項，公差為4的等差數列，則．
方法二：由題知、、、…、是以為首項，公差為4的等差數列，則．
【說明】 本題主要考查等差數列的通項公式、前n項和公式及相關概念、性質，能力要求層次為理解，屬于中檔題．在解決本問題時，對已知條件的不同表示、對結論(如(Ⅱ)的求和)的不同表達，即產生對問題的不同解法．
【例36】 如圖，在平行四邊形中，是邊的中點，點在對角線上，且．
(Ⅰ) 記，，試用向量、表示；
(Ⅱ) 證明：三點共線．
【分析】 根據向量及其運算的幾何意義，聯系平面向量共線的表示求解．
【答案】 (Ⅰ) ∵，，
∴．
(Ⅱ) 證明：．
∴．故M、N、C三點共線．
【說明】 本題主要考查向量及其運算的幾何意義、向量共線的表示，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例37】 已知，且，．
(I) 求；
(II) 求．
【分析】 三角恒等變換，抓住相關的角、函數名和式子的結構(即角、名、形)關系入手．
【答案】 (I) 由，，知，
∴ . ∴ ．
(或:)
(II) 由可知，，，，
∴. 又，∴ ．
∴
．
【說明】 本題主要考查三角恒等變換(和差角的正弦、余弦，倍角公式)，能力要求層次為理解，屬于中檔題．
【例38】 已知函數 ()．
(I) 證明：是上的增函數；
(II) 若在上的值域是，求的值．
【分析】 證明函數的單調性，可以考慮運用定義或導數知識；對于連續函數，在單調性確定之后，函數在給定閉區間上的值域容易由已知區間的端點函數值表示．
【答案】 (I) 法一： 設，且，
則，
∴．
∵，則，，
∴，是上的增函數．
法二： 由已知，當x>0時，>0，
∴ 是上的增函數．
(II) 由(I)知，在上單調遞增，當在上的值域是時，有即．
【說明】 本題主要考查函數的單調性證明及其應用，能力要求層次為掌握，屬于中檔題．函數的單調性是函數的重要性質，與不等式、最值(值域)等有密切聯系．研究函數的單調性，定義是基礎，導數是重要工具．
【例 39】 為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打時間x(單位：小時)與當于投籃命中率y之間的關系：
時間x 1 2 3 4 5
命中率y 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
(Ⅰ) 求小李這 5天的平均投籃命中率為；
(Ⅱ) 用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率．
【分析】 (Ⅰ)用平均數的定義可求解；(Ⅱ)先利用表格給出的數據求出線性回歸方程，再以此為基礎求第六天的命中率．
【答案】 0.5；0.53．
【說明】 本題主要考查平均數和線性回歸方程等基本知識，數據統計中最常用的回歸分析以及運算能力，能力要求層次為理解，屬于較難題．
【例40】 銳角中，角的對邊分別為，且．
(Ⅰ) 求角B；
(Ⅱ) 若，且，求b．
【分析】 的結構，加上解題目標“求中的角”的導向，考慮運用正弦定理．對于(Ⅱ)，表示向量的數量積之后，根據已知條件選擇關系解三角形即可．
【答案】 (Ⅰ) 由及正弦定理，得
，
即，，．
是銳角三角形，，．
(Ⅱ) ∵，∴，
∴．又∵，∴．
∴．
【說明】 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，能力要求層次為掌握，屬于較難題．
【例41】如圖，在三棱錐中，，為的中點，⊥平面，垂足落在線段上.
(Ⅰ) 證明：⊥；
(Ⅱ) 已知，，，.求二面角的大小.
【分析】 (Ⅰ)欲證⊥，轉化為證明平面APD，即證明AD⊥BC，PO⊥BC；(Ⅱ)欲求二面角的大小，即求其二面角的平面角的大小，因此，需作出二面角的平面角∠BMC，再利用已知條件解三角形BMC，求得平面角∠BMC．
【答案】 (Ⅰ) 由AB=AC，D是BC的中點，得AD⊥BC．又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC．因為PO∩AD=O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.
(Ⅱ) 如圖，在平面PAB內作BM⊥PA于M，連CM. 因為BC⊥PA.，得AP⊥平面BMC.所以AP⊥CM.故∠BMC為二面角B-AP-C的平面角．
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=，
在Rt△POD中， PD2=PO2+OD2，
在Rt△PDB中， PB2=PD2+BD2，
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.
在Rt△POA中， PA2=AO2+OP2=25，得PA=5．
又
從而所以．同理CM.
因為BM2+MC2=BC2，所以=90°，即二面角B-AP-C的大小為90°．
【說明】 本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，二面角等基礎知識，同時考查化歸與轉化的思想，空間想象能力和推理論證能力，能力層次要求為掌握，屬于較難題．
【例42】 若以點()為圓心的圓與軸交于點，與軸交于點，其中為原點．
(Ⅰ) 求證：的面積為定值；
(Ⅱ) 若直線與交于點，且，求的方程．
【分析】 (Ⅰ)欲求三角形AOB的面積，需要求得兩直角邊OA，OB的長，通過求圓與坐標軸的交點解決問題；(Ⅱ)關鍵抓住OM=ON這一條件，得出點O在MN的中垂線上，同時圓心C必在弦MN的中垂線上，從而OC為MN的中垂線，根據兩直線垂直斜率互為負倒數解決問題．
【答案】 (Ⅰ) 由題意知，的半徑()，則方程為
．
由
由
∴ (定值)．
(Ⅱ) 由知，線段MN的中垂線經過原點O，且經過圓心．
∴ 的斜率等于的斜率的負倒數，即，
即．
∴ 的方程為或．
【說明】 本題主要考查圓的方程，三角形面積，定值問題，垂徑定理，兩直線垂直的性質，數形結合的思想和化歸與轉化的思想，抽象概括能力與運算求解能力，能力層次要求為掌握，屬于較難題．
【例43】 已知點P在橢圓上，且以點P及該橢圓的兩個焦點F1，F2為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標．
【分析】 由橢圓方程易得橢圓的兩個焦點坐標，從而得出焦距，由點P的縱坐標的絕對值為的一條高的長，可得的面積的表達式，進而得出點P的縱坐標，由點P在橢圓上，求出點P的坐標．
【答案】 由橢圓方程得兩焦點坐標為，所以. 設點P(x,y)，則，所以.
因為點P在橢圓上，所以，解得.
所以所求點P有四個，分別為
【說明】 本題主要考查橢圓的焦點坐標，焦距，點在曲線上，三角形面積求法，數形結合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉化的思想，運算求解能力，應用意識，能力要求層次為掌握，屬于較難題．
【例44】 已知，函數．
(I) 是否存在實數a使為奇函數；
(II) 探索方程f(x)=0的實根個數．
【分析】 對于(I)，利用奇函數定義，根據f(-x)=-f(x)建立a的等式得結論；對于(II)，可考慮運用零點存在性定理或者函數的圖象解答．
【答案】 (I) 函數的定義域為R，設，則．
令 =，得 a=1．因此，存在實數a=1，使為奇函數．
(II) 方程f(x)=0即=0，
當a≤0時，f(x)<0恒成立，方程顯然無解；
當a>0時，方程變形得 ，設．此時，若a≥2，則g(x)>0恒成立，方程無解；若0所以，當a≤0 或a≥2時，方程f(x)=0實根的個數為0；當0【說明】 本題主要考查函數的性質、方程的根(函數零點)的個數的確定和分類討論思想，能力要求層次為掌握，屬于較難題．以上解答中，結論“當0【例45】 現需要圍建一個面積為的矩形場地，場地的一面利用舊墻(但舊墻必須維修)，其它三面全部新建，并在舊墻對面的新墻上留一個寬為的進出口(如圖所示). 已知舊墻的維修費用為元/，新墻的建造價為元/．設利用舊墻的長度為()，修建此矩形場地圍墻的總費用為(元).
(Ⅰ) 將表示為的函數，并寫出定義域；
(Ⅱ) 試確定，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出這個最小值.
【分析】 對于實際應用型的問題，應注意閱讀審題、分析題意、建立關系，根據建立的關系(數學模型)的特征聯系相應的數學方法解決問題．
【答案】 (Ⅰ) 當舊墻的長度為時，矩形場地的寬度為，則新墻的總長度為 .
∴ 舊墻的維修費用，新墻的修建費用為.
總費用，化簡得
．
由于要在舊墻對面的新墻上要留一個寬為的進出口，所以．
故 ，．
(Ⅱ) 由及，知
，
其中，當且僅當，即時，“=”成立．
∴ 當 時，總費用的最小值為元．
【說明】 本題主要考查運用函數、不等式知識解決實際問題以及分析問題、解決問題的能力，能力要求層次為掌握，屬于較難題．
【例46】 已知函數，曲線在點處的切線方程為．
(I) 求a，b的值；
(II) 證明：當x>0，且時，．
【分析】 曲線的切線問題，從導數的幾何意義入手；涉及函數的不等關系，基本思路是考慮函數的單調性(導函數的函數值符號)．
【答案】 (Ⅰ) 顯然，．由于直線的斜率為，且過點，故即 解得，．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，所以．
考慮函數，則
．
所以當時，，即h(x)在(0,1)和(1,+∞)上是減函數，而，故
當時，，可得；
當時，，可得；
從而當
【說明】 本題主要考查導數的幾何意義(與直線相切于曲線的聯系)、導數的應用(導函數的函數值取值與單調性的關系)，推理與運算能力，能力要求層次為掌握，屬于較難題．
六、樣題及參考答案
四川省普通高中學業水平考試(樣卷)
數 學
本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分. 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至6頁. 全卷滿分100分，考試時間為90分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.
3．考試結束時，將本試卷和答題卡一并收回.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若直線Ax-2y-1=0與直線6x-4y+1=0互相平行，則A的值為
(A) (B) 3 (C) (D)
2．一元二次不等式的解集是
(A) (2，3) (B) (-3，-2)
(C) (D)
3．設集合，集合，集合，則等于
(A) (B) (C) (D)
4．將一枚質地均勻的硬幣拋擲兩次，出現“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是
(A) 0 (B) (C) (D) 1
5．設α∈{－1，1，，3}，則使函數y＝xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為
(A) 1 (B) 1，3 (C) －1， (D) －1，1，3
6．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如表：
分數 5 4 3 2 1
人數 20 10 30 30 10
則這100人成績的標準差為
(A) (B) 3 (C) (D)
7．已知，向量與垂直，則實數的值是
(A) (B) (C) (D)
8．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個三角形的最大角是
(A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 150°
9．若右圖是一個棱錐的正視圖、側視圖和俯視圖，且圖中三角形是直角邊長均為1的直角三角形，四邊形是邊長為1的正方形，則此棱錐的體積等于
(A) 1 (B)
(C) (D)
10．閱讀下面的程序框圖，當輸入變量時，輸出的結果是
(A) 3 (B) 8
(C) (D)
四川省普通高中學業水平考試(樣卷)
數 學
第Ⅱ卷(非選擇題 共60分)
題號 二 三 總分 總分人
15 16 17 18 19
得分
注意事項：
1．第Ⅱ卷共4頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上.
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請將答案直接填在題中橫線上．
11．計算：__________．
12．橢圓的右焦點的坐標為_____________．
13．已知展開式中第四項的系數為__________．
14．若函數在時有極值10，則的值分別為__________．
三、解答題：本大題共5小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本題8分) 用定義證明：函數在區間上是增函數．
16．(本題8分) 如圖，已知圓C與軸和軸都相切，圓心C的坐標為(2，2)．
(Ⅰ) 寫出圓C的標準方程，并化為一般方程；
(Ⅱ) 求與圓C相切，且在軸和軸上的截距相等的直線方程．
17．(本題8分) 如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，AD1與A1D相交于點O．
(Ⅰ) 判斷AD1與平面A1B1CD的位置關系，并證明；
(Ⅱ) 求直線AB1與平面A1B1CD所成的角．
18．(本題10分) 已知函數，
(Ⅰ) 把的表達式化簡為的形式；
(Ⅱ) 指出在區間上的單調區間、最大值及相應的x的值．
19．(本題10分) 已知等差數列的公差d不為0，設，
．
(Ⅰ) 若q=1，a1=1，S3=15，求數列的通項公式；
(Ⅱ) 若a1=d，且S1，S2，S3成等比數列，求q的值；
(Ⅲ) 若，證明：()．
四川省普通高中學業水平考試(樣卷)數學試題
參考答案及評分意見
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 (B) (D) (B) (C) (B) (D) (A) (C) (C) (A)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分)
11．1；12．(2，0)；13．280；14．．
三、解答題(本大題共5個小題，共44分)
15．(本題8分)
設， 2分
則 ， 4分
即， 6分
∴ 函數在區間上是增函數． 8分
16．(本題8分)
(Ⅰ) 由已知，圓心C的坐標為(2，2)， 1分
又 圓C與軸和軸都相切，可得圓C的半徑． 2分
所以，圓C的標準方程是． 3分
圓的一般方程為． 4分
(Ⅱ) 由已知，直線在軸和軸上的截距相等，可設直線方程為．
又該直線與圓C相切，所以，解得 ． 6分
故所求直線方程為：或． 8分
17．(本題8分)
(Ⅰ) ． 2分
∵ 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，，
∴ ． 4分
(Ⅱ)連結．∵于點O，
∴ 直線是直線在平面上的射影．
∴ 為直線與平面所成的角． 6分
∵ ，∴ ，
∴ °． 8分
18．(本題8分)
(Ⅰ)=
==sin2x 2分
∴=2sin(2x)． 3分
(Ⅱ) 設，則u=2x．
根據正弦函數的單調性可知，函數g(x)=2sinu在u時遞增，在u時遞減；且當u=時，g(x)min=；當u=時，g(x)max=2． 6分
所以，當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；的最小值為f(x)min=，相應的x=0；的最大值為f(x)max=2，相應的x=．
8分
19．(本題10分)
(Ⅰ) 由題設，=，
將q=1，a1=1，S3=15代入，解得d=4，
所以數列的通項公式為：． 3分
(Ⅱ) 由已知，a1=d，且S1，S2，S3成等比數列，所以S22= S1S3，即
，
注意到d≠0，q≠0，解得q=-2． 6分
(Ⅲ) 由題設，有 bn=，則
①
②
①-②得， 8分
①+②得， ③
③式兩邊同乘以 q，得
所以，=
=-
=2d(=． 10分
開始
輸入a,b,c
x=a
b>x
輸出x
結束
x=c
x=b
是
否
否
是
INPUT x
IF x>=0 THEN
PRINT x
ELSE
PRINT –x
END IF
END
否
是
輸出
結 束
開 始
輸入

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