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(共25張PPT)
人教B版高中數學二（必修）
對數運算
b
1
2
…
12
13
14
15
…
26
27
…
b
N?2
2
4
…
4096
8192
16384
32768
…
67108864
134217728
…
8192?16384
?
2
?2
?
2
簡化運算：把兩個大數的相乘問題轉化為兩個小數的相加問題
27
?
2
13
14
13?14
?
?
【問題2】如何快速計算299792458?31556925.9747
一、創設情境、引入新課
2的次冪對應表
【問題1】在不用計算器的前提下，如何快速計算8192?16384
?
?
2
?
299792458
2
?31556925.9747
2
?
x
x
?
32
a
?
N
b
對數運算
開方運算
3
知a,b求N
乘方運算
x2
二、邏輯推理、概念形成
x1
知b,N求a
5
知a,N求b,即ax
?
N
2x1
?
299792458
【思考】形如
a
?
N
(a
?
0且a
?
1,
N
?
0)
的方程是否
已知方程：
2
?
3
【小結】當
a?1時，方程
a
?N?N
?0?
有唯一的解
1
7
6
5
4
3
2
1
2
3
-1
-2
=
0
x
二、邏輯推理、概念形成
x
有解？
x
【問題3】根據指數函數的圖像思考：
1、對于指數x,你認為x的值存在嗎？
2、如果存在，有多少個符合條件的x值？為什么？
?1?
?3?
?
0
1
3
2
-2
-1
7
6
5
4
3
2
1
=(
)
ax
?N?N
?0?有唯一的解
【結論】當a?0且a?1時，方程
二、邏輯推理、概念形成
x
已知方程：
?
?
7
【問題4】根據指數函數的圖像思考：
1、對于指數x,你認為x的值存在嗎？
2、如果存在，有多少個符合條件的x值？為什么？
【小結】當
0?a?1時，方程
ax
?N?N
?0?有唯一的解
背景
概念
應用
性質
二、邏輯推理、概念形成
logaN
注意：①規范寫
②正確讀：讀作以a為底N的對數
③要樹立“指對互化”的意識
④性質一：真數N>0，即負數和零沒有對數
二、邏輯推理、概念形成
【對數的定義】一般地，如果ab
?
N?a
?0且a
?1,N
?0?
，
那么冪指數b
稱為以a
為底N
的對數(logarithm),記
作b
?
loga
N,其中a稱為對數的底數，N稱為對數的真數。
底
底
數
指
數
冪
真
數
?
=
??????????
=
log?
?
對
數
數
《數理精蘊》中把對數稱為“假數”，
取“借用一下”之意，
N稱為“真數”。
“真數”一直沿用至今，而“假數”后來
被“對數”所取代，取“對應指數”之意
二、邏輯推理、概念形成
(1)2
?
x
(2)x
?
32
(3)2
?
299792458
【鞏固練習】把前面引例中的指數式寫成對數式
3
5
x1
(1)log
=3
(2)log
32
=
5
(3)log
299792458
=
二、邏輯推理、概念形成
，
，1，2，3，4，10
1
100
集合A
1
3
b
集合A的元素，并寫出指數式對應的對數式
【問題6】根據這些對數式，請試著歸納一下對數都有什么性質，
并進行證明。
三、探究性質、理解概念
-2，-1，0，
指數
對數
性質
冪為正
真數N>0，即負數和零沒有對數
0
a?1
loga1?0
1
a?a
logaa?1
【常用對數定義】通常以10為底的對數稱為常用對數（common
logarithms），
即
log10
N
，簡寫為
lgN
【自然對數定義】科學技術中，常用到以無理數
e
?
2.71828?
為底的對數叫
做自然對數（natural
logarithms）,簡寫為
lnN
三、探究性質、理解概念
常用對數
自然對數
????lg
=
log
ln
=
log
(e
≈
2.71828……)
?1?lg2001
(1)3.3012
?2?ln0.0045
(2)
?
5.4037
?3?ln396.5
(3)5.9827
(4)log
299792458
=
?
三、探究性質、理解概念
【實驗操作】利用科學計算器求出下列對數的值（精確到0.0001）
a
?
N
log
a
a
?
b
1
100
?
lg10?2
?
?2
【對數恒等式1】
b
表達的是同一關系式，如果把指數表達式中的N代入對數表達式，你有什么發現？
b
b
?
loga
N
b
三、探究性質、理解概念
【問題7】回顧剛才有的同學舉得例子，比如
log2
4
?
log2
22
?
2,lg
你還有什么發現？
a
?
N
a
?
N
loga
N
b
?
N
loga
N
?
b?loga
N
【對數恒等式2】a
lnN
【思考】e
?
N
三、探究性質、理解概念
【問題9】類比前面的推導，如果把對數表達式中的b代入指數表
達式，你又有什么發現？
1971年，尼加拉瓜發行了一套郵票，還尊崇e
界上“十個重要的數學公式”之一
?
N
為世
ln
N
?1?log2
?4?2log
32
?5?52log
3
?3?lne
1
2
2
?2?lg0.1
5
5
?6?10?1g3
四、應用舉例、深化概念
【小試牛刀】求下列各式的值
在地理領域，對數
用于計算地震強度
對數在現實生活中的應用
在生物領域，對數用于求“半
衰期”估計生物死亡的年數
在化學領域，對數
用于求“PH”值
在物理領域，用于
測量聲音的分貝
振幅的幾倍？已知里氏震級M的計算公式為：
lg
M
?
，A是被測
【合作探究】地震的里氏震級是根據最大振幅計算出來的，2008年，
我國四川汶川發生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為
里氏8.0級，震級相差0.2，請問，8.0級地震的最大振幅是7.8級最大
A0
A
10
地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅。（參考數據：
0.2
?1.58
）
四、應用舉例、深化概念
在…有待加強
自主反思
體會了…的思想
五、歸納小結、布置作業
學會了…的知識
掌握了…的方法
回顧學習
活動形成
2、閱讀課本18-19頁的“拓展閱讀”——素數個數與對數
3、收集、閱讀對數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫
小論文，論述對數發明的過程以及對數對簡化運算的作用。
五、歸納小結、布置作業
——
17
——
對
數
的
發
明
和
解
析
幾
何
的
創
始
、
微
積
分
的
建
立
稱
為
世
紀
數
學
的
三
大
成
就
。
恩
格
斯
對
數
的
發
明
者
蘇
格
蘭
最
快
樂
的
數
學
家
約
翰
納
皮
爾
——
——
對
數
用
縮
短
計
算
的
時
間
來
使
天
文
學
家
的
壽
命
加
倍
。
拉
普
拉
斯
給
我
時
間
、
空
間
以
及
對
數
，
我
就
可
以
創
造
一
個
宇
宙
！
伽
利
略
我為自己代言（對數版）
你只看到我源于指數，
卻沒看到我比指數早一步來到這世上.
你有你的迷茫，我有我的規則.
你否定我的可愛，
伽利略說，“給我時間、空間以及對數，我就可以創造一個宇宙?！?br/>你嘲笑我面目可憎晦澀難懂，
我懇請你靠近一點再多讀我一遍.
懂我，是場注定孤獨的旅行，
路上少不了探索與思考.
但那又怎樣，哪怕再艱難，
也有執著睿智的勇士理解我的價值與內涵.
我是對數，我為自己代言！

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