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圓錐曲線專題（三）
———存在性問題
例1:已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在正數m，且m的取值范圍是
例2:已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的角平分線所在直線的方程；
（Ⅲ）在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？
若存在，請找出；若不存在，說明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）不存在滿足題設條件的相異兩點
例3:（2011湖南理21）如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）設C2與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與 C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E．
（i）證明：MD⊥ME;
（ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得 請說明理由。
答案：（Ⅰ）C1，C2的方程分別為
（Ⅱ）（i）略（ii）滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為
例4:（2010山東文數）如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為，左、右焦點分別為．點為直線l：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設直線、的斜率分別為．
（i）證明：；
（ⅱ）問直線l上是否存在點，使得直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（i）略（ⅱ）滿足條件的點P的坐標分別為，
高考真題練習
1.（2009全國卷Ⅱ理） 已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當的斜率為1時，坐標原點到的距離為
（I）求，的值；
（II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。
答案：（Ⅰ） （II）
2.（2010北京理數）在平面直角坐標系中，點B與點A（，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線AP和BP分別與直線交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為
3.（2010陜西文數）如圖，橢圓C：的頂點為A1，A2，B1，B2， 焦點為F1，F2， ，．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n為過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，
，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）使·=0成立的直線l不存在
4.（2011山東理）已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標原點.
（Ⅰ）證明和均為定值;
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得 若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）|OM|·|PQ|的最大值為
（Ⅲ）橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G
y
O
x
F1
F2
A
l
y
x
O
A
P
C
D
B
F1
F2
l
O
x
y
l
P
B
n
B1
A2
F2
F1
A1
B2
A

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