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第七章
隨機變量及分布列
7.5
正態分布
1.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量，提高數學建模的核心素養；
2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征，體會數形結合和轉化思想，提高數學抽象及數據分析的核心素養.
3.了解正態分布的均值、方差及其含義，會用正態分布去解決實際問題，提高邏輯推理、數學運算的核心素養.
定義
可以一一列舉
連續型隨機變量：取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0。
1.連續型隨機變量與離散型隨機變量的區別？
2.連續型隨機變量取一點的概率為什么為0？
不能一一列舉
定義辨析
交通工具的選擇
問題1：小明每天上學總是感覺時間很緊張，公交車、單車是學生上學常見的兩種交通工具，選擇哪一種交通工具使上學更不容易遲到？
問題2：運用所學統計學的知識：收集數據，分析數據，做出決策。如何從數學的角度幫小明做出決定，解決交通工具選擇問題？
問題3：有一天，小明只有
30
分鐘就要上課了，選擇哪一種交通工具更不容易遲到？
交通工具的選擇
頻率
組距
0
時間
交通工具的選擇
問題
4：根據頻率分布直方圖選出若只有
30
分鐘上學最不容易遲到的交通方式？
問題
5：由這樣
30
個數據得出的結論可不可靠？怎樣使得結論更加可靠？
在時間不超過30分鐘時，公交車小矩形面積大于單車矩形面積
交通工具的選擇
以小組為單位
（1）繪制頻率分布直方圖
（2）繪制頻率分布折線圖
公交車時間頻率分布表
分成6組
分成15組
時間
頻率
組距
o
總體密度曲線
當樣本容量不斷增大,分組的組距不斷縮小時，
思考1：頻率分布直方圖的形狀有何特點？
思考2：頻率分布折線圖的折痕有何特點？
思考3：頻率分布直方圖的輪廓有何特點？
高斯
正態曲線和函數
,
其中μ∈R，＞0為參數.
x
y
O
正態密度函數：
正態曲線
正態曲線:
正態密度函數圖像為正態密度曲線.
正態分布：
隨機變量的概率分布密度函數為記為.
　
定義1
定義2
定義3
例題
例1：給出下列兩個正態總體的函數表達式，請找出其和
標準正態曲線
特別地，當時，稱隨機變量服從標準正態分布.　　
X的密度曲線
Y的密度曲線
y
x
30
34
38
問題再探究
回扣引入：小明只有
30
分鐘就要上課了，乘坐公交車和騎單車不遲到的概率怎樣表示？選擇哪一種交通工具更不容易遲到？
李明各記錄了200次坐公交車和騎單車所花的時間，根據數據分析，得到了坐公交車用時和騎單車用時的正態曲線。
問題：如在選擇交通工具的決策中，應依據什么準則？
思考：從正態曲線分析，隨機變量X在有什么幾何意義？
x
y
0
a
b
等于曲邊梯形的面積
思考1：x軸與正態曲線所夾面積為多少？
思考2：對稱區域面積有何特征？
S(-?,-x)
S(x,+?)＝S(-?,-x)
?
回扣問題：連續型隨機變量取一點的概率為什么為0（即）？
現實生活中的正態分布
2.一定條件下生長的小麥
株高
穗長
單位面積產量
零件的尺寸
3.正常生產條件下
各種產品的質量指標
纖維的纖度
電容器的電容量
電子管的使用壽命等
4.某地每年七月份
平均氣溫
平均濕度
降雨量等
在現實生活中
遺傳基因、飲食習慣、
每天鍛煉身體的時間等
隨機變量
服從或近似服從
正態分布
體重
1.長度測量的誤差
某一地區同年齡人群
身高
肺活量
例如
正態曲線的特點
特點：
（1）對稱性：曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.“鐘形”
（3）漸近線:
當無限增大時，曲線無限接近軸.
（2）單調性：曲線在x=μ處達到峰值(最高點).
其中μ∈R，＞0為參數.
0
y
x
μ
小組探討：觀察正態曲線及相應的密度函數，你能觀察正態曲線的哪些特點？
例題
例1
在一次測試中，測量結果服從正態分布N(2，σ?)(σ＞0)，若在
(0,2)內取值的概率為0.2，
求：(1)；
(2)．
的意義
兩個參數μ和對正態曲線的形狀有何影響？它們反映正態曲線的哪些特征？
其中μ∈R，＞0為參數.
0
y
x
μ
的意義
為位置參數
當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
思考1：當σ一定時，對曲線有怎樣的影響？
參數反映了正態分布的集中位置，即
的意義
為形狀參數
?
當μ一定時，曲線的形狀由σ確定
.
（1）σ越小，峰值____，曲線越“_____”，表示總體的分布越_______.
（2）σ越大，峰值____，曲線越“_____”，表示總體的分布越_______；
思考2：當一定時，σ對曲線有怎樣的影響？
σ反映了隨機變量X相對于均值的離散程度，即
越高
瘦高
集中
越低
矮胖
分散
例題
例2．設兩個正態分布N(μ1，
)(σ1＞0)和N(μ2，
)
(σ2＞0)的密度函數圖象如圖所示，則有
(　
　)
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1
＞
σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
A
正態分布在生活中的應用
醫學參考值范圍亦稱醫學正常值圍．它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標的波動范圍．制定正常值范圍時，首先要確定一批足夠大的樣本；其次需根據研究目的和使用要求選定適當的百分界值，如80％，90％，95％
和99％，常用95％；
根據指標的實際用途確定單側或雙側界值，如白細胞計數過高過低皆屬不正常，則需確定雙側界值；又如肝功中轉氨酶過高屬不正常，則需確定單側上界；肺活量過低屬不正常，則需確定單側下界．
思考：你能用正態分布的知識解釋一下參考值設置的合理性嗎？
3σ原則
信息技術演示
若，可以證明：對給定的是一個只與________有關的定值.
我們從上圖看到，正態總體在
以外取值的概率只有0.27
％,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生，稱為小概率事件.
在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ，2
)的隨機變量X只取
中的值，這在統計學中稱為3原則.
3σ原則
例題
例3.
某年級的一次信息技術測驗成績近似服從正態分布N(70,10?)，
如果此年級共有1
000名學生，求：
(1)是多少？
(2)成績在60以內的約有多少人？
(3)是多少？
博古通今
正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.
正態分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.
棣莫佛
棣莫佛最早發現了二項概率的一個近似公式，
這一公式被認為是正態分布的首次露面.
高斯
課堂小結
1．本節課所學的知識點？2．本節課所用到的是數學思想？
正態分布
正態曲線
3?原則
①②③
正態密度函數
正態曲線特點
的意義
知識
數學思想
數形結合
轉化
回扣目標
1.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量，提高數學建模的核心素養；
2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征，體會數形結合和轉化思想，提高數學抽象及數據分析的核心素養.
3.了解正態分布的均值、方差及其含義，會用正態分布去
解決實際問題，提高邏輯推理、數學運算的核心素養.
《卜算子?正態分布》
正態分布描，離散平均律；
形若山巒繪起伏，理順無章序。
天數縱茫茫，亦往巔峰聚，
山腳存留百分五，盡是專家欲。
作業
1.查閱正態分布的數學史，以小組為單位形成學習報告，交流學習；
2.完成教材第87頁練習1、2、3.

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