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高三數學復習中的“段氏武功”
金庸在《天龍八部》中描寫了一個人物——段譽，其人在有意無意間學會了幾種獨步天下的武功：
六脈神劍——乃大理段氏一脈中的最高武學，由大理開國皇帝段思平所創。所謂六脈神劍，是指含于指尖的內力隔空激發，猶如一柄無形神劍穿過，有質無形，鋒銳無倫。無論是橫掃或虛指，均可傷敵。
　　北冥神功——可以吸取他人的內力以供己用，是迅速提升功力的捷徑。內力既厚，天下武功無不為我所用，猶如北冥，大舟小舟無不載，大魚小魚無不容。“北冥有魚，其名為鯤，鯤之大，不知其幾千里也……”，能夠容納幾千里的大魚必定是非常廣闊的海洋，因而北冥神功正是寓含了廣大恢宏之意，也體現了神功的威力。此功，內力為本，招數為末。
凌波微步——凌波微步是逍遙派的獨門輕功步法，以易經八八六十四卦為基礎，使用者按特定順序踏著卦象方位行進，從第一步到最后一步正好行走一個大圈。此步法精妙異常，習者可以用來躲避眾多敵人的進攻。說是天下第一輕功亦不為過。
抗毒體質——無量山下，誤服萬毒之王－莽牯朱蛤，萬毒不侵。
今天我想向各位專家匯報的是在高三數學復習中的四招“段氏武功”
“北冥神功”——做老師必須修練內功！
“六脈神劍”——課堂教學的無形氣劍！
“凌波微步”——應試做卷的基本步法！
“抗毒體質”——引導考生要百毒不侵！
“北冥神功”——做老師必須修練內功！
做老師必須修練內功，這是基本常識；高三老師勤修內功，這是共識；作為還有20天就要高考的高三老師精修內功，我以為這更是“必須”的。因為只有這樣我們才能游刃有余、信手拈來，才能有資格陪著你的學生走過刻骨銘心的20天，才能帶領學生們走向高考！
何為內功？
理清知識考點，再學《考試說明》；
研究模考試題，再探命題思路；
了解學生學情，再調授課策略。
對于后兩方面后面要談，此處就“理清知識考點，再學《考試說明》”先說說：
理清知識考點，再學《考試說明》：
毫無疑問，《考試說明》給我們指明了高考“考什么？”“怎么考？”和“考多難？”三個問題。因此，須理清《考試說明》中所列考點，同時做到每個考點的考查要求屬于哪個層次？考查這些考點的常見題型有那些？
了解（A級）：40個，必做題部分29個，附加題部分11個.
理解（B級）：72個，必做題部分36個，附加題部分36個.
掌握（C級）：8個，必做題部分8個.
作力點在B或C.
觀點1：高考命題為前后接軌而求新，也必然為前后接軌而守舊.
和諧穩定是必然，高考試題呈現給我們的很多基礎題是夠基礎的，比較下來是可以找到規律的.
2011年數學高考絕大部分家長和考生都是非常開心的，但比較2010年與2011年的江蘇數學卷到底誰好誰差見仁見智.
高考試題中知識呈現的方式改變，但所考查的知識和方法來源于課本和平時的復習.
觀點2：真正的高考好題靠的是超常規思維來識別考生.
高質量的試卷不在于用偏僻知識點、新知識點來識別學生，人為制造區分度；而是靠熟題新意、舊瓶新酒，靠常考點和熱點中的超常規思維來識別考生.
困難面前找知識本質，復雜背影下抓思想方法.
觀點3：主干內容重點考；數學概念深入考；知識網絡并聯考.
八大主干知識板塊要重點關注：函數、數列、三角函數、平面向量、不等式、解析幾何、立體幾何、導數及應用.
非重點知識非重點考查，切忌拔高；比如：常用邏輯、算法初步、復數、推理與證明等.
注重每個知識點的題型，注重每個思維的細節.
比如：立體幾何題型：線面平行與垂直；面面垂直與平行；角與距離的求解；表面積與體積.
再比如：已知函數，．
（I）證明：當時，在上是增函數；
（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數，當時，在上是減函數；
（III）證明：．
“六脈神劍”——課堂教學的無形氣劍！
課堂教學：指在一定教育思想（大多是校長的“教育思想”）指導下，建立在豐富的教學經驗基礎上的，為完成教學目標和內容而形成的比較穩定，且具體可操作的課堂活動.
高考復習必須講效果，也必須講效率.高三復習課不同于新課，尤其到了僅剩下20天這個檔口，學生“有”問題可提,有問題“要”提,也“會”提問題了.以問題為中心的課堂教學，以解決每一個學生的學習問題為宗旨,從提問題開始,循問題而進,到解決問題結束.
我認為，這就是課堂教學的“六脈神劍”，有質無形，鋒銳無倫！
觀點1：講得多≠掌握多；難度大≠能力高；技巧強≠解法好；時間多≠收益大.
學生的話：告訴我，我可能會忘記；分析給我聽，我可能記住；讓我參與，我會真正理解。
有鑒于此，我認為：
第一：課堂教學一定要有學生的參與；
第二：不要過于追求技巧性太強的解法；（技巧性太強的解法，會讓學生產生自卑感，感覺自己怎么這么笨，這么簡單的方法我怎么想不到的呢？）
第三：提高單位時間的利用率，不搞疲勞戰.（現在的數學課時較多，未必講全所有的時間，“留白”未必是浪費！）
觀點2：時間是不可再生資源！
珍惜考前的每一分鐘，說好考前的每一句話，講好考前的每一節課，設計好考前的每一道題。
必須精心設計每一節課，杜絕教學的隨意性（與課堂生成不是同一個概念）.隨意性的教學只能是簡單的勞動，只能是重復的勞動，只能是無效的勞動.隨意性的教學會使你永遠覺得時間不夠，永遠有東西可講.隨意性的教學必然是教師的付出與學生的收入不匹配，教師累，學生苦，效果差.
觀點3：兩種課型（專題課、講評課）各有側重，不可同日而語.
專題課：講重點、講難點，講通性通法，引導學生把知識橫向推廣，縱向引伸，以題論法，變式探索，深化提高。講出思維的過程，講出題目的價值，注意知識的梳理，有條理、有系統，過后，能讓學生頭腦中有一條清晰的主線.
專題課選題策略：例題“精選”、“精講”，習題“精練”、“精評”（上本子的作業）.
講評課：過去曾有“三講三不講”，當然對“三講三不講”兩個不同的解釋：
一是濰坊教科院的“三講三不講”，即講學生提出的問題，講學生不理解自己討論解決不了的問題，講知識缺陷和易混易錯的知識；學生不訂正不講，學生沒問題不講，有問題學生不研究不講。
二是無從考出自何處的但流傳較廣的：講重點、講難點、講易錯易混知識點；學生已經會的不講、學生通過自主研討能會的不講、老師講了學生也不會的不講。我比較傾向于第一種的，因為第二種的“三講”中的前兩講“講重點、講難點”提得不準確，重點、難點知識難道學生自己學不會嗎？非要講嗎？再是這二講也不是從學生實際出發，有對學生灌輸的嫌疑。兩種“三不講”提得真好，第一種是從學生的自主學習能力方面提出的，第二種是從學生的知識能力方面提出的，都有很好的借鑒作用。
當然，有幾個問題還是值得思考的：“前幾題”講不講？出錯率低的題講不講？要不要講“一題多解”？
問題之一：“前幾題”講不講？
比如：若，則 .
思路1：或或，
得，
合并，
檢驗，為所求.
分析：并列著兩個條件：
其一，是三者之一，數學含義是方程或或；
其二，由集合元素的互異性知且.
思路2：兩者結合應為，或無解，或無解.
再比如：函數的最大值與最小值之和為 .
思路1：求導求最值.
且不說其繁難程度如何了，其間出現的含有的超越方程就幾乎無法解出.（“二分法”及電腦畫圖法除外！）
思路2：是奇函數，
奇函數的最大值與最小值之和為0，
于是心算就可以得出2.
小結：前幾題有些還是要講的，應為以什么樣的思維方式進入答題狀態，將直接影響水平的發揮.
問題之二：出錯率低的題講不講？
比如：已知、均為銳角，且，則 .
學生拿到題，奮筆疾書，看誰寫得快，得以下解法：
解法1：由得
，
整理得，
由于、均為銳角，所以，
所以，即.
此解法純粹體力勞動，浪費時間.如果結合誘導公式考慮，可有如下解法：
解法2：由得
，即，
從而.
再比如：如果，那么的取值范圍是 .
思路1：變形為
即，
因為，所以，
故的取值范圍是.
思路2：函數是增函數，由得.
思路3：不等式兩邊異號，需且只需.
小結：有人做過簡單統計，一套高考數學試卷的文字量，通常在2000個字符，一般情況下，考生每分鐘能閱讀300~400個字符，閱完一套試卷大約需要花費5~7分鐘，考慮到有些題目冷僻晦澀，需要反復閱讀、多次體悟才有可能斷明題意，實際閱讀一套數學試卷需要12分鐘左右.
書寫一套試卷的答案大約需要3000個字符，以每分鐘書寫150個字符算，大約需要20分鐘.
于是，留給學生的探究思考、發現思路、估算精算、文字組織、復查檢驗的時間大約88分鐘，20道題，加上大題中小問，一般的有28~30個問題（2008年29個；2009年32個；2010年28個；2011年27個），學生解答每個問題的平均時間只有3分鐘，所以教會學生快速找到“切入點”是我們講評試卷的重頭戲！
問題之三：要不要講“一題多解”？
很多老師講評試卷時總要給出不同的解法，以為方法多學生選擇的余地就大，這其實是認識上的一個誤區.
我們發現越是考過講過的題往往做得越差，對此老師們常常概嘆“只要把我講過的掌握了，就能考得很好啊！”學生也后悔不已，這題這么多解法老師都講過，我也都聽懂了，怎么在考場上就想不到呢？
所以，講評試卷要針對學生的特點，講最適合學生的解法，講學生最適合學生的方法，而不是各種解法.無數事例說明，什么都講等于什么都不講.
比如立體幾何題，一般有三種解法，即傳統解法、向量解法、空間直角坐標系.
“凌波微步”——解題的基本步法！
凌波微步——凌波微步是逍遙派的獨門輕功步法，以易經八八六十四卦為基礎，使用者按特定順序踏著卦象方位行進，從第一步到最后一步正好行走一個大圈.此步法精妙異常，習者可以用來躲避眾多敵人的進攻.說是天下第一輕功亦不為過.
觀點1：不做則已，做必到位；泛泛而做，不如不做；質量優先，以質求量；正確無誤　快速規范。　
減少練習數量，增加思維時間；減少統一標準，增加彈性空間。（對不同層次的學生提出不同的要求。）
每周定時、定量規范地完成一套專題訓練和一套模擬試卷，一是訓練學生的答題程序、書寫速度、解題思路與技巧及應試心理素質。二是鞏固本周所講的內容，提升能力。
觀點2：作業或試卷批改的三種形式——“教師精批”、“學生互改”、“二次批改”
（1）“教師精批”是指教師對學生的逐一批改，對不同學生的作業進行評價；關注中下等生，尋找錯誤原因
（2）“學生互改”是指教師講解作業的含義及分步的標準答案后，學生交換作業，互相批改；
（3）“二次批改” 由于評講的面和講評針對的不同，需要通過二次訂正來強化學生的認知。二次批改必然會加重教師的工作負擔，所以有時可采用抽查的形式。對于需要重點輔導的學生進行面批，邊面批，邊進行輔導。
觀點3：巧妙運用解題策略于分段得分。
有人說學習是藝術，但考試只是技術，是有法可循的。
分段得分的法定依據是高考“分段評分”；分段得分的基本內容是防止“分段扣分”，爭取“分段給分”；分段得分的總體功能是：進可全題解決，退可分段得分.
分段得分的主要技術：分解分步—缺步解答；引理思想—跳步解答；以退求進—退步解答；正難則反—倒步解答；掃清外圍—輔助解答.
觀點4：多用“詩行短句”答題，少用“散文大段”描寫.
多用“詩行短句”答題，這是著名特級教師萬爾遐老師的建議.
萬爾遐小傳：湖北省孝感市人，北京師范大學數學系畢業。
特級教師，享受國務院政府特殊津貼的教育專家，中國數學會普及教育工作會員.
湖北省孝感市文昌中學教學校長，北京師范大學教育科學研究所課改專題研究員.
早年以“分層教學法”在因材施教上取得成功，而成為學生和家長“喜歡的教師”.
擅長編寫啟發性、趣味性強的學生讀物.
參加了《中學數學》、《中學生語數外》、《數理天地》等雜志社的創刊工作，同時主持有關專欄的編輯工作長達20年之久.
中學任教38年，跟蹤高考29年.
曾參加全國高考命題工作，是“出活題、考基礎、考能力”的倡導者.
現工作單位：北京教育出版社恒謙教育研究院.
老師們在閱卷時，常常是拿著“答點”（得分點）在考卷上尋找相關的句段，在相關的句段上尋找“把關”的符號、表達式等結論.為了使閱卷老師能迅速看清答點，建議數學答案的行文寫成“詩行短句”，不要寫成“散文大段”.
“詩行短句”容易顯示“答點”，而“散文大段”容易“淹沒”答點.
“抗毒體質”——引導學生要百毒不侵！
觀點1：成功經驗的準備，失敗更是經驗的準備.
　 解題具有實踐性與探索性的特征，基礎知識要通過解題實踐來消化，思維素質要通過解題實踐來優化，解題方法要通過解題實踐來強化．在解題實踐中，既會有成功又會有失敗，這兩方面的積累，都能形成有長久保留價值或借鑒作用的經驗．
　　所謂解題經驗，就是某些數學知識、某些解題方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也向我們從反面提供有效的有序組合．成功經驗所獲得的有序組合，就好像是建筑上的預制構件（或稱為思維組塊），遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上（模式識別）．一個人解題所做的腦力工作就在于回憶起經驗中用得上的東西，并且和他的解題思維聯系起來．
弗里德曼在《怎樣學會解數學題》中認為“如果我們著手解答一道習題，那么，第一件事就想知道：這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定習題的類型．”
這就需要平時積累經驗與類型．怎么積累呢？
弗里德曼在“致讀者”中分析學生解了大量的題但還“不開竅”時指出：“這些學生沒有在應有的程度上分析所解的習題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個答案”．
這就指出了一個途徑：通過解題過程的分析來積累經驗與類型．
波利亞也說：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征”（《數學的發現》序言）．
解題中，“一個好念頭的基礎是過去的經驗和已有的知識．”（《怎樣解題》）
　　解題經驗的積累，有利于解題念頭的誘發，有助于直覺性題感的形成．題感指的是人們對問題的總體性的感受，它是思維定勢正遷移的一種潛在表現，實質是一種數學觀念、數學意識，常體現為解題中的整體把握和成功思路的預感、預測與預見．如像學外語的“語感”，學音樂的“樂感”．
中學生的解題積累，基本上就是課本上的學習積累，因此，每節課你收獲了什么？每次作業或練習獲得了什么？我不要求我的學生有《錯題本》，但我要求有《心得本》！
因為《錯題本》僅僅積累了失敗的經驗，《心得本》既積累了失敗的經驗，還積累了成功的經驗，有時成功的經驗比失敗的經驗更能讓人賞心悅目！
觀點2：最后20天心理的準備比知識的準備更重要.
解題的心理過程是在問題的條件及結論的啟發下，激活記憶網絡中的一些知識點，然后沿接線向外擴散，依次激活新的有關知識，同時，要對被激活的知識進行篩選、組織、評價、再認識和轉換，使之協調起來，直到條件與結論之間的線索接通，建立起邏輯演繹關系．
這里主要是指良好的心理素質，如動機、興趣、抱負、態度、品德、意志等．這些非智力因素對于解題的作用，與它對于發明發現的作用是一樣的．我們說，學生學習數學只有通過自身的情感體驗，樹立堅定的信心，才能是成功的．
波利亞也說：“認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的；決心與情緒所起的作用很重要．”
他強調說：“教學生解題是意志的教育．當學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待主要的念頭，學會了當主要念頭出現后全力以赴．如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了．”（《怎樣解題》）
　　我認為，如果同學們在我的課程中，不能嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么，你們最好勸我去干點別的營生，別在這里誤人子弟了．
各位老師：對于袁亞良主任和曹瑞彬秘書長所交給的任務，這能以此方式胡亂交差，既不成體系，又沒有理論支撐，個別地方還借鑒了其他老師的做法和說法.但是，不論怎么說我是花了時間思考的.如有不當，歡迎指教.

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