資源簡介

陜西師范大學基礎教育研究院
高考臨場20招羅增儒
高考的遺憾莫過于實有的水平未能充分發揮出來，致使十幾年的辛勞毀于兩小時的“經驗”不足．應該知道，數學高考不僅是數學知識的較量，而且也是心理素質和考試技術的較量．當一個考生進入封閉考場之后，他（她）的數學知識和數學能力，可以看成一個常數，如何將所掌握的知識轉化為閱卷得分點，這就取決于穩定的心態和答題的技術了．根據數學高考解題和閱卷的特點（參見文[1]、[2]），我們來提供一些正常應試乃至超水平發揮的技術，從“進場前后、答題要領、全局意識、解題策略、分段得分”5個層面組織為考試臨場20招．
第一部分 進場前后
進入考場的前后，主要是作好心理準備、物質準備、體力準備和發揮準備．
第1招：提前進入角色．
像運動員先做準備運動，像演員提前醞釀感情，考生也應提前進入“角色”，努力把最佳競技狀態帶進考場．
（1）考前調整、休養生息．
考生在考前一二周應逐漸放松，進入靜息狀態，并進行生物鐘的調整，讓作息時間安排得與高考的時間同步，在這段時間內，要保持情緒穩定，降低學習強度，增加睡眠時間，進行輕微活動，熟悉考場細則，做好物質準備，在一種寧靜的氣氛中主要做識記性的復習工作（勿做難題、偏題、怪題），比如，回想學科的整體結構，舒展脈絡，背誦其中的重點內容（如二項式定理、等差（比）數列求和公式、圓錐曲線標準方程、兩角和的余弦公式……）．發現有缺漏時不要焦急，應從容不迫地坐下來翻閱教材和筆記，保持內緊外松．
“靜能生慧”，經過強化訓練之后的靜息，是記憶恢復的最佳選擇，許多發明創造都是在“腦風暴”之后的冷卻期出現的，臨考前必要的靜息，看似失去，實為獲得．相反，還做難題、還加班加點，會帶來精神的過度緊張和體力的過度疲勞，會直接或間接（有形或無形）影響臨場的發揮．高考是很緊張、很繁重的腦力勞動，心理和體力都消耗很大，需要提前加以儲備，入靜改善了大腦和全身的生理機能，就為提高智力活動的效率準備了良好的心理氛圍與充足的身體能量．
至于作息時間安排得與高考的時間同步，則能在正式考試時，思維自動進入工作狀態并迅速達到高潮．
（2）熟悉考場，備份清單．
考生一定要親臨考場（特別是考場未設在本校的考生），熟悉環境，記下來回的路線和行走的時間，認準衛生間和醫療室的位置，一方面可以消除考試時無謂的“新異刺激”，另一方面也能“以防萬一”．
臨考當天，應有充足的睡眠，并吃好清淡的早餐．赴考離家前，要按預先列好的清單帶齊一應用具，如準考證、鋼筆（吸飽水）、圓珠筆（兩支）、鉛筆、橡皮、圓規、三角板、防暈止痛小藥片、擦汗小毛巾等，特別不要忘記帶準考證和2B鉛筆．同時要注意當年的規定，能帶才帶、不能帶不帶．
（3）提前活動，進入角色．
應提前半個多小時到達考場，一方面防止路上出現意外，另一方面可以穩定情緒，讓腦細胞開始簡單的數學活動，讓大腦進入單一的數學情景．下面是一些可供選擇的建議：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
陜西師范大學基礎教育課程研究中心項目：新課程實施與數學高考命題改革的研究．
①清點所需用具是否齊全．
②把一些基本數據、常用公式、重要定理“過過電影”，特別是一些你認為難記易忘的結論．
③同學之間互問互答一些不太復雜的問題．
經驗表明，“過電影”的成功順利，互問互答的愉快輕松，不僅能轉移臨考前的焦慮，而且有利于把最佳競技狀態帶進考場，至于背誦基本數據（開方數、平方數、立方數、對數、勾股數、特殊角的三角函數等）、再現重要定理、公式等則常有實惠．
第2招：迅速摸清“題情”．
剛拿到試卷，一般心情比較緊張，思考亦未進入高潮，此時不要匆忙作答，可先從頭到尾、正面反面通覽一遍試卷，弄清全卷共有幾頁、幾題？看看頁碼是否齊全？卷頁是否配套？印刷是否完整、清晰？尤其要認真閱讀試卷的說明與各題型的指導語．
（1）通覽全卷的作用．
①一份試卷，相當于一份學科復習提綱，有了試卷的全貌認識，可使我們有機會從整體結構上獲得積極的暗示，便于從學科的知識體系上產生聯想，激活回憶，提高分析問題的能力和解決問題的效率．
②為實施正確的答題策略提供盡可能多的客觀基礎，如“三個循環”（見第3招）、“四先四后”（見第4招）、“一慢一快”（見第5招）等．
③便于統籌安排時間，防止在個別小題上糾纏過久，也能有效克服“前面難題久攻不下，后面易題無暇顧及”的毛?。?br/>④可以提前防止缺頁、殘頁、空白頁，也能從根本上避免漏做題．
（2）通覽全卷的基本工作．
通覽全卷既是摸清“題情”，又是解題的第一個循環，一般可在不到10分鐘的時間內完成4件事：
①填卷首、看說明、兩寫三涂．
即首先填好卷首各欄，如寫姓名、寫準考證號等項．對答題卡則涂類型、涂準考證號、涂科目代號，同時，要要認真閱讀試卷的說明與各題型的指導語．
②順手解答．
即順手解答那些一眼看得出結論的簡單選擇題、填空題，顯然，看完全卷比只看開頭二三道題更容易找到熟悉的內容，更容易找到會做的題目；而只要能很快解答出一二道題（每套試卷都會有難度系數0．8以上的熱身題），情緒就會迅速穩定下來，并且“旗開得勝”的愉悅感還有一種增力作用，能鼓勵自己去作更充分的發揮．
③粗略分類．
對于不能立即作答的題目，可一面瀏覽一面按照難度估計，粗略分為A、B兩類，A類是指題型比較熟悉、估計上手比較容易的題；B類是指題型比較陌生，自我感覺比較難的題目，以便于“先易后難”地答題．
④做到三個心中有數．
首先是對題量心中有數，弄清全卷一共幾頁、大小幾道題，防止漏做題，發現漏印題．
其次是對題分心中有數，弄清每道題各占多少分，為后面實施“先高后低”作調查，并粗略分配一下各題的解答時間．既注重每道題少丟分，更注重全卷多得分．
最后是對題目的內容分量心中有數，即大致區分一下哪些屬于函數題、哪些屬于不等式題、哪些屬于數列題、哪些屬于三角函數題、哪些屬于立體幾何題、哪些屬于解析幾何題、哪些屬于概率統計題、哪些屬于微積分題，為實施“先同后異”做好準備．
第二部分、答題要領．
通覽全卷之后，思考逐漸進入高潮，建議掌握好三個答題要領．
第3招：三輪答題．
就是說，完整解答一套試題可經過3個循環（三輪答題法）．一頭一尾是兩個小循環，各用10分鐘左右，中間是一個大循環，用將近100分鐘．
（1）第一循環：通覽全卷．
即在通覽全卷的同時，先做簡單題的第一遍解答，這是一個小循環．按高考題的難度比例3：5：2計算，可以先從那30%的容易題入手，獲二三十分；同時，把情緒穩定下來，將思考推向高潮．
（2）第二循環：全面解答．
即用將近100分鐘的時間，基本完成全卷，會做的都做了．在這個大循環中，要有全局意識，能作整體把握，并執行“四先四后”（參見第4招）、“一慢一快”（參見第5招））的方針．
（3）第三循環：復查收尾．
即用大約10分鐘的時間來檢查解答過程并實施“分段得分”（參見第16～20招）．對于絕大多數考生來說，都不可能在第二循環中答全答對所有的試題，因此要對那些答不全或答不對的題目進行技術性處理．這一步的作用有點像足球守門，把住最后一關．即使都做完了的題目，也要復查，防止“會而不對、對而不全”．這一步是超水平發揮，爭取多得分的不可缺少的步驟．
第4招：四先四后．
考慮到滿分卷是極少數，絕大多數考生，都只能答對部分題目或題目的部分，因此，執行“四先四后”的技術措施是明智的．
（1）先易后難．
就是說，先做簡單題，再作復雜題，先做A類題，再攻B類題，容易和困難是因人而異的．“難者不會，會者不難”，雖然試卷本身的編排已經原則上考慮到從易到難，但這僅僅是命題組的主觀認識，而且數學試卷常常被設計為“兩個從易到難的三個小高潮”，（三類題型——選擇題、填空題、解答題——從易到難；每類題型本身又從易到難），就是說，選擇題的難題完全可能比填空題的易題困難，而解答題的易題又完全可能比選擇、填空的難題容易，所以，進入第二遍答題時，就無須拘泥于從前到后的自然順序，可根據自己的實際，跳過啃不動的題目，從易到難（被跳過的題目其實還在潛意識里繼續思考），特別是不能在低分值的題目上耽誤過長時間，防止“前面難題久攻不下，后面易題無暇顧及”．
（2）先熟后生．
通覽全卷，既可能看到較多的有利條件，也可能看到較多的不利因素，特別是對后者，不要驚慌失措，萬一當年試題偏難．首先要會自我暗示：“我難別人也不易，水退船低沒關系”，“要鎮定，別哆嗦，辦法總比困難多”，其次，可實行“先熟后生”的策略，就是說，先做哪些內容掌握比較到家，題型結構比較熟悉的題目，后攻那些題型、內容、甚至語言都比較陌生的題目．先做在某些方面有熟悉感的題目，容易產生精神亢奮，會使人情不自禁地進入境界，展開聯想，促進轉化，拾級登高．
（3）先高后低．
這是說要優先處理高分題（解答題），特別是在考試的后半段時間，更要注意解題的時間效益，比如：
①兩道都會做的題目，應先做高分題，后做低分題，以減少時間不足的失分；
②到了最后一二十分鐘，也應對那些拿不下來的題目先就高分題實施“分段得分”（參見第五部分），以增加在時間不足的前提下的得分．事實證明，“大題拿小分”是一個好主意．
當然，“先高后低”要與“先易后難”結合起來，不能不分難易，專挑高分題做，否則會造成“高分難題做不出來，低分易題沒時間做”．
（4）先同后異．
就是說，可考慮同學科、同類型的題目集中處理（如同為函數題、同為方程題、同為不等式題、同為數列題、同為三角函數題、同為立體幾何題、同為解析幾何題、同為概率統計題、同為微積分題等），這些題目常常用到同樣的數學思想、類似的思考方法，甚至同一數學公式，把他們結合起來一齊處理，思考比較集中，方法或知識的溝通比較容易，有利于提高單位時間的效益，一般說來，數學高考解題必須進行“興奮灶”的轉移，思維活動必須進行代數學科與幾何學科的相互換位，興奮中心必須從這一章節跳躍到另一章節，但“先同后異”可以避免興奮中心轉移得過急、過陡和過頻．
這“四先四后”要結合自己的實際，相互配合，產生整體效果．　
第5招：一慢一快．
就是說，審題要慢、書寫要快．
（1）審題要慢．
題目本身是“怎樣解這道題”的鑰匙．只不過其中的積極提示往往是通過語言文字、公式符號以及它們之間的聯系間接地告訴我們．所以，審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結構、邏輯關系、數學含義、答題形式、數據要求等各方面真正看懂題意．特別要抓好審題的“三個要點、四個步驟”．（詳見文[3] 問題19、問題20）
①三個要點．
要點1：弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數學含義如何．
要點2：弄清題目的結論是什么，一共有幾個，其數學含義如何．
要點3：弄清題目的條件與結論有哪些數學聯系，是一種什么樣的結構．
②四個步驟．
步驟1：讀題——弄清字面含義．
步驟2：理解——弄清數學含義．
步驟3：表征——識別題目類型．
步驟4：深化——接近深層結構．
經驗表明，凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽地給予的，只有細致地審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕“慢”．
例1 過正方體的頂點作直線，使與棱，，所成的角都相等，這樣的直線可以作
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
（2010年高考數學江西理科第4題、5分）
講解 （1）條件是什么？
①正方體．可以作出一個正方體圖形（圖1），正方體中的所有性質視為已知．
②過點的直線與棱，，所成的角都相等．這里，涉及空間中線線夾角的知識，構成解題的關鍵與難點．正方體的“棱”本義均為線段，但當說夾角時是指棱所在的直線，因而，
●棱，，是可以延長的；
●直線與棱，，的夾角是指不大于的角．
學生普遍只認識到這兩點，這就把選擇題當解答題了，其實，
四個選擇支還提供第3條件，并且，可以作為溝通條件與結論的橋梁． 圖1
③直線存在且不超過4條．
（2）結論是什么：求直線的條數．
（3）溝通條件與結論聯系．
思路1 從條件③出發．
第一件工作：題目說，至少有1條，你能找出1條來嗎？（正方體內找）
如圖1，正方體內，過點與棱，，所成的角都為的體對角線為所求，這樣的直線有1條．
第二件工作：你還能再找出第2條來嗎？
要突破僅在正方體內找的思維定勢，關鍵是思考棱的延長線：以點為頂點，三條棱落在直線，，上的正方體不只1個（參見圖2），每一個都有過點的體對角線與三條棱，，所成的角都相等，這就又將問題還原為在大正方體內找體對角線．
解法1 以點為頂點，三條棱落在直線，，上的正方體有8個（參見圖2），每一個都有過點的體對角線與三條棱，，所成的角都相等，去掉重合的得4條直線，即圖2中大正方體的4條體對角線．選（D）．
領悟 本思路先從小正方體中找1條體對角線，然后再從大正方體中找4條體對角線，在這個過程中可以考查線線夾角的知識和空間想象能力，有分類（正方體內1條、正方體外3條）及轉換化歸的思想方法．
思路2 因為與兩相交直線夾角相等的直線在兩個垂直平分面上，我們可以通過軌跡相交法找出直線．
解法2 如圖2，與棱，所成的角都相等的直線在兩個垂直平分面，上；與棱，所成的角都相等的直線在兩個垂直平分面上；兩類垂直平分面間的交線與棱，，所成的角都相等，有4條：
選（D）． 圖2
例2 已知為互不相等的實數，且，求．
（1951年高考數學第4題）
講解 通常認為題目有兩個已知條件：
（1）顯性條件1：，
（2）顯性條件2：．
記，試想由及能推出嗎？所以，題目還有
（3）隱含條件：．
本例正是由這三個條件推出一個等式．這時的思路探求可以這樣想：
（1）題目是從等式到等式，途經應是恒等變形；
（2）題目是從兩個等式，到一個等式，途經應是兩個等式的合并；（如何合并？）
（3）題目是從到，途經應是消元，消去；
（4）題目是從分式到整式，途經可以去分母，也可以抵消分母．
由此可以得“設比值”之外的更多解法．如
另解1
（消除分式與整式，6個字
母與3個字母間的差異）
（用顯性條件2）
（用隱性條件）
．
另解2 由已知有
，
，
，
相加得
　　　　　?。?br/>另解3 對已知式的前兩項用等比定理，有
，
即 ，
得 ，
得 ．
另解4 已知表明，兩條直線重合：
　 ，　　　　　　 ①
　　　　， ②　　　　　　　　
由于直線②通過點，所以直線①也通過點，得
．
（2）書寫要快．
①首先，在宏觀上要有爭分奪秒的速度意識，因為高考本身有時間限制，有速度要求．據統計，一套高考數學試卷通?？刂圃?000個左右的印刷符號，若以每分鐘閱讀300 ～ 400個印刷符號的速度審題，約需5～7分鐘，考慮到有的題目要反復閱讀，實際需要12分鐘：書寫主要用于解答題，約3000個印刷符號，按每分鐘150個印刷符號的速度書寫，約需28分鐘，也就是說，看清題目后直接抄標準答案都需要40分鐘，留給思考、草算、文字組織和復查檢驗的時間只有80分鐘，平均到每一問（通常是每卷都不下20題、約30問），保證不了3分鐘．為了給解答題留下思考的時間，選擇題、填空題就只能在一二分鐘內解決，解決不了的就先跳過去（被跳過的題目其實還在潛意識里繼續思考）；解答題中容易的題也不妨邊想邊寫，節省草算時間，一般地，選擇題、填空題與解答題的時間比可分配為4：6．
②其次，具體到每一道題，一旦找到解題思路，書寫要簡明扼要、快速規范，不要拖泥帶水，啰嗦重復，更別畫蛇添足（導致倒扣分），用閱卷教師的行話來說，就是要寫出“得分點”，就數學題而言，一個原理寫一步就可以了，至于不是題目要直接考查的過度知識，特別是那些初中知識，可以直接寫出結論，須知，多寫一步就是多出現一個犯錯誤的機會，就是多占用了后面高分題的一點思考時間，這意味著“隱含失分”或“潛在丟分”．
為了節約書寫，我們建議多使用數學語言、集合符號、充要條件．
例3 如圖3，直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點在軸上，長半軸長為2，短半軸長為1，它的一個頂點為問在哪個范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點的距離等于該點到直線的距離
（1988年高考數學理科第七題、12分）
解法1 假定橢圓上有符合題意的四個點，則這四個點的坐標都應滿足下面的橢圓方程
， （1分） 圖3
又這四個點的坐標應滿足下面的拋物線方程
， （2分）
從而它們都是下面的方程組的實數解：
（3分）
將②式代入①式，得
，
即 ． ③ （4分）
由于上述方程組有4個不同的實數解，所以方程③的判別式應大于零．
所以原方程組有4個不同的實數解，當且僅當方程③有兩個不相等的正根．而這又等價于
， （5分）
整理得 ，
解此不等式得
或． ④ （7分）
由已知，橢圓上的點的橫坐標都大于零，所以方程③的兩個根都應為正數，于是得
，
解此不等式得
． ⑤ （9分）
由④、⑤以及已知條件得
． （10分）
反之，當時，方程③的判別式應大于零，從而方程③有兩個不相等的實數根，又由于方程③的常數項，一次項，所以都為正數．
把分別代人②中，可解得
顯然兩兩不相等．
由于適合②式與③式，從而也適合①式，因此點是符合題意的點．
同理，都是符合題意的點，并且它們是互不相等的． （12分）
綜上述，所求的的取值范圍為．
說明 這個解法不但冗長，而且很容易漏掉“反之……”，被扣2分．
解法2 橢圓上有四個點符合題意的充分必要條件是方程組
（3分）
有4個不同的實數解，這等價于
③ （5分）
有4個不同的實數解，這又等價于方程③有兩個不相等的正根， （6分）
其充要條件是
（9分）
在的條件下，解此不等式組，得到． （12分）
說明 解法2所用到的知識，所出現的表達式與解法1幾乎一樣，但篇幅還不到解法1的一半，還避免了“檢驗”的扣分．區別在于解法1先證“必要性”，后證“充分性”；而解法2用了“充分必要條件”，簡潔而完備．
第三部分、全局意識．
高考不是按滿分錄取的，也沒有單科的最低控制線．因此，部分題目失分、個別科目未考好并不影響錄取，關鍵是加總分能進入錄取線，上述“四先四后”已經體現了臨場的全局意識，此外還有3條建議．
第6招：立足中下題目，力爭高上水平．
平時做作業，全都是按照全做全對來要求的，但高考卻不然，只有極個別的學生能夠完成所有的題目，獲得滿分（2010年陜西數學理科滿分20人、文科滿分20人），因為時間和難度都不允許多數學生去做完、做對全部題目（據知，當今高考命題通常按50%～60%考生能做完、但不保證做對來設計題量的），所以，每個考生都要有這樣的戰略眼光：立足中下題目．
應該看到，中下題目通常占全卷的80%（計120分），是試卷構成的主要成分，是考生得分的主要來源，是高校錄取的主要依據，并且還是進一步解高難題的基礎．
我們說“前120分若能穩拿，后30分就更有希望”．確實，考生若能攻下全部中下檔題目，穩拿120分，應該認為這已打了一個大勝仗．已經獲得了一個成功的獎賞，它為后面攻克高難題準備了時間和心理能量，更容易出現超水平的發揮，退一萬步說，各科的難題都做不了，僅憑80%的得分率（總分可得750×0．8=600分），錄取通知書也已遙遙在望了．
相反，若因為還有二三十分的題做不出來（滿分150分），感到很緊張、很焦急，總想全做全對，就只會更加發揮不好，甚至忙中出錯，把本來做對的地方也改錯了（檢查中遇到兩種解法，沒把握時，可印象優先、尊重第一選擇）．應該知道，高考是加總分錄取的，它是依據相對分數的優勢從前往后選擇的．
就像奧運會比賽，關鍵不是破世界紀錄，而是得金牌，當然，既得金牌又破紀錄是一件兩全其美的好事，但對多數考生來說，要害是“考上”！要確保基礎分，拿下力爭分，不丟零碎分．
第7招 立足一次成功，重視復查環節．
高考的時間很緊張，不可能做大量細致的解后檢驗，所以，答題要立足于一次成功，穩扎穩打，字字準確，步步有據，努力提高解題的成功率，最好是每進行一步書寫時，都用眼睛的余光掃視上下兩行，順便檢驗有無差錯（步步檢驗）！有的考生上一行寫，下一行變為 ，想填（），卻填了（），還有是試卷翻頁時忙中出錯．造成“方法全對，結論全錯”，心是手非，實在可惜！如其匆匆忙忙做6題對5題，不如扎扎實實做5題對5題．
在這個基礎上，還要有最后把關的檢驗．這是解決“會而不對，對而不全”的一個有效措施．
檢驗應“以粗為主，粗細結合”，粗檢驗主要看題目有無遺漏，題意有無弄錯，要求是否符合，具體到每一道題，要看解題過程是否合理，解題步驟是否完整，解題結果是否科學．
細檢驗就要具體看每一步推理是否合乎邏輯，每一步計算是否正確無誤？定理的條件滿足了嗎？公式的記憶準確嗎？符號、數據抄對了嗎？特別是在出現“”號的地方，一定要多留意，不要在移項、去括號時忙中出錯．
為了提高檢驗的效率，還應熟悉檢驗的一些基本方法，防止每道題都簡單地重復去再算一次，我們建議同學們嘗試如下的復查方法：復查核對、代值檢驗、多解對照、逆向運算、觀測估算、量綱檢查、特值檢驗、條件檢驗、邏輯檢驗等．
第8招：內緊外松．
考試的始終，不宜過分緊張，也不要漫不經心，要有適度的緊迫感和強烈的使命感，又要防止過分焦慮和患得患失，做到堅定、清醒、沉著、從容，叫做“內緊外松”．
沒有緊迫感就沒有最佳競技狀態．我們說的緊迫感主要指考試過程要放得開，挺得住，精神集中，心態平和、勇于自我鼓勵，善于自我暗示，同時還表現為時間觀念、速度意識和遇到困難時的信心、勇氣、毅力與不屈不撓，應該認識到，個別題目不會做（或來不及做）、有的科目未發揮出應有的水平等都屬于正?，F象（不必大驚小怪、更別驚慌失措），都要以內緊外松的態度堅持考好每一科，堅持做好每一題，堅持用好每一秒（答題順利時也別提前交卷），絕不能中途泄氣．
比如，遇到數學解答題較難、思維受阻的情形較多時，就要在心里提示自己：不是自己一個人不會做，大家都難，拿不下來并不影響錄取，“我易人易莫大意，我難人難不畏難”．從全局上看，高考是加總分錄取的，不在乎一題一科的得失，越是在困難的時候越是要有全局意識，越是要想到“東方不亮西方亮，暗了北方有南方”，必要時可以閉目養一養神，或作一作深呼吸．
第四部分、解題策略．
由于高考有時間的限定，因而拿到題目要迅速解決“從何處下手”、“向何方前進”這兩個基本問題，這與平時做作業沒有時間限制是不同的，并且，這些年的試卷強調知識的覆蓋面，基本上都是不下二十道題、約三十問，有較高的速度要求．怎樣才能做到兩個迅速呢？我們的建議是掌握高考解題的一些思維規律，首先是明確解題過程，其次是掌握解題策略（如模式識別、差異分析、層次解決、數形結合等）．當然，最根本的是學會分析：分析條件、分析結論、分析條件與結論的聯系．
第9招：解題過程．
我們把尋找習題解答的活動叫做解題過程．它通常包括從拿到題目到完全解出的所有環節或每一步驟．我們從便于操作理解的角度首先介紹一個四個步驟的解題程序（波利亞）然后提供一個三要點的解題實例．
（1）四步驟解題程序．
①弄清問題．
通常也叫做理解題意，主要是明確已知是什么？求證（解）是什么？亦即從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息．題目的條件和結論是兩個信息源．從條件發出的信息，預示可知并啟發解題手段，從結論發出的信息預告需知并誘導解題方向，為了從中獲取盡可能多的信息，我們要逐字逐句地分析條件、分析結論、分析條件與結論之間的關系，常常還要輔以圖形或記號，以求得目標與手段的統一．（參見第5招及例1、例2）
對于大量的常規題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關于這類題的解法就召之即來（見第10招模式識別）．即使是新的“陌生情景”，我們也有了解決它的目標與原始基礎，繼而可以用“差異分析”（見第11招）、層次解決、（見第12招）、“數形結合”（見第13招）等措施．
②擬定計劃．
“擬定計劃”的過程是探索解題思路的發現過程，也是一個化歸過程，我們通常叫做尋找解題思路．其最樸素的含義是，把待解決或未解決的問題，歸結為一類已經解決或者比較容易解決的問題．波利亞的建議是分兩步走：
●努力在已知與未知之間找出直接的聯系(模式識別等)，這是最簡單的直接化歸．
●如果找不出直接的聯系，就對原來的問題作出某些必要的變更或修改，引進輔助問題等，這是最實質的曲折化歸．
中學生尋找思路的一個便于操作的方法是分析法．尋找思路的一個簡易可行的思考是“特殊化”，先退后進、以退求進（難的不會想簡單的）．此外，模式識別、差異分析、層次解決、數形結合等都是非常有效的解題策略．
③實現計劃．
就是把打通了的解題思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具體表達出來，說服閱卷老師．
●在實現計劃中“怎樣表達”，這對學生來說仍然是一個需要系統指導和嚴格訓練的問題．我們建議記?。?5字口訣）：定方法、找起點、分層次、選定理、用文字．
●在這個基礎上，進一步要做到（24字要領）：方法簡單、起點明確、層次清楚、定理準確、論證嚴密、書寫規范．（對于網上閱卷，還要安排好書寫的位置和字體的大?。?br/>④回顧．
高考的回顧主要是復查檢驗，看計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更簡單的．有的檢驗是解題的必要步驟，有的檢驗是避免過失的技術性措施．（參見第7招的重視復查環節）
平時的回顧還表現為解題后對數學命題的重新認識和對解題方法的評價，積累數學才能．
（2）三要點解題實例．
下面是我們進行解題教學的一個示例，主題為“解題教學是解題活動的教學”，包含有三方面的含義：
①解題活動是一種思維活動，思維活動既有過程又有結果，解題答案主要反映思維活動的結果，而獲得答案的實質是發現與發明的過程．
②解題教學不僅要教解題活動的結果（答案），而且要呈現解題活動的必要過程——暴露數學解題的思維活動．沒有過程的結果是現成事實的外在灌輸，沒有結果的過程是學習時間的奢侈消費，解題教學不僅要獲得答案，而且要從獲得答案的過程中學會怎樣解題，把過程與結果結合起來．
③暴露數學解題的思維活動有兩個關鍵過程，其一是“從沒有思路到獲得初步思路”的認知過程（我們叫做第一過程的暴露），其二是對初步思路反思的元認知過程（我們叫做第二過程的暴露），解題教學不僅要有第一過程的暴露，而且還要有第二過程的暴露．
例4 若實數滿足，求的取值范圍．
講解 題目是由一個等式去確定一個不等式（取值范圍）． 可以從結論出發也可以從條件出發，可以有代數的視角也可以有幾何的視角．同學們可以各顯神通．
這是一類中檔題，學生普遍能下手，有設（斜率）的，由代入消元的，……但大多有“會而不對、對而不全”的毛?。處熓紫日垉晌辉O的同學寫出解法1、解法2，然后反思，請另兩位同學寫出解法3、解法4；接著進行第二、第三、…、第六次反思，從設到不設，得出11種解法．基本情況如下：
第一、解題思路的探求（擴元）．
解法1 設，有，與聯立，消去，得關于的一元二次方程
． ①
由為實數，有判別式非負
　　　　　 ，
即 ，
解得　　　 ． ②
得的取值范圍為．
解法2 設，有，與聯立，消去，得關于的一元二次方程
． ③
由為實數，有判別式非負
　　　　　 ，
解得　　　　． ④
得的取值范圍為．
第二、解題過程的第一次反思．
（1）的取值范圍中是包括0的，當時能肯定①、③必定為一元二次方程嗎？
（2）你怎么知道②、④中的能夠取到呢？方程①中的不能取全體實數，判別式能否取等號要不要驗證？
（3）消去與消去哪個稍好一些？
學生看出消去稍好一些，讓學生在原解答的基礎上修訂解答．
解法3 （解法1的修訂）設，當時，易知，，此時點滿足題設條件．
當時，讓與聯立，消去，得關于的一元二次方程
． ⑤
由為實數，有
　　　　　 ，
即
解得　　　 ． ⑥
　　當時，相應的
合并得的取值范圍為．
解法4 （解法2的修訂）設，當時，易知，，此時點滿足題設條件．
當時，讓與聯立，消去，得關于的一元二次方程
． ⑦
由為實數，有
　　　　　 ，
解得　　　?。? ⑧
　　當時，相應的
合并得的取值范圍為．
第三、解題過程的第二次反思．
解法4完善了解法2，但還有反思的余地：
（1），既討論又合并，有無多余的思維回路？
（2）除了引進還有什么思路？
注意到，判別式與配方法是相通的，改用配方法可以避開討論．請看：由求根公式
，
只需 ， ⑨
只需 ，
只需 ，
只需方程兩邊乘以4a
．
這時，式⑨揭示了判別式的實質，它是一個完全平方式，并且在方程的觀點之下它是配方的結果，因而就具有配方法與實數平方的雙重功能．
解法5 （配方法）設，與聯立，消去，得
，
兩邊乘以
，
配方 ， ⑩
得 ．
當時，由⑩知，從而；當時，由⑩知，從而．所以的取值范圍為．
第四、解題過程的第三次反思．
以上引進是擴元，這道題只有擴元的思路嗎？否定擴元，可以保元也可以消元．教師請兩位用消元法的學生介紹他們的做法（可以消去也可以消去，下面只呈現消去的）．
解法6 把代入，有
，
得的取值范圍為．
解法7 把代入，有
，
得的取值范圍為．
第五、解題過程的第四次反思．
（1）做分母，要不要討論的情況？分情況討論是不是必要的？
（做分母不是題目本身就有的，討論是一種辦法，但不是好辦法，改分母縮小為分子放大，便可以避免分母為0了）
（2）要不要驗證不等式取等號
解法8 把代入，有
，
等號當，從而時等式成立，得的取值范圍為．
第六、解題過程的第五次反思．（命題背景的揭示）
（1）切線斜率背景：（數形結合）的幾何意義是拋物線，的幾何意義是拋物線上的點與點的斜率，而取最值的幾何意義是過點作拋物線切線的斜率．這體現了題目的一般性．
本例還有特殊性，那就是點恰好在準線上，如圖4
．
從更關注直線轉移到更關注拋物線，你能對題目產生什么新的認識？
是拋物線上的點到準線的距離，它等于拋物線上的點到焦點的距離，由拋物線的定義知等價于（）
．
由此可以得出新的解法．
（2）拋物線背景
解法9 （拋物線的定義）易知拋物線的焦點為，準線為，由拋物線的定義知等價于
， 圖4
有　　　　　，（點到直線間的距離，垂線最短）
當時，可以分別取到最大值１、最小值－１，故的取值范圍為．
第七、解題過程的第六次反思．
拋物線背景的揭示，使我們可以獲得消元法的新處理
解法10 （拋物線的定義）由有
當時，可以分別取到最大值１、最小值－１，故的取值范圍為．
解法11 （拋物線的參數方程）設，則，有
，
當，即時，可以分別取到最大值１、最小值－１，故的取值范圍為．
領悟 題目由一個等式去確定一個不等式．可以從結論出發也可以從條件出發，可以有代數的視角也可以有幾何的視角，可以擴元、消元也可以保元．沒有思路的時候，要努力獲得思路．有了初步思路的時候，要學會反思，通過反思學會解題．
第10招：模式識別．（參見文[4]）
（1）模式識別的基本含義．
①在學習數學的過程中，所積累的知識和經驗經過加工會得出一些有長久保存價值或基本重要性的典型模式與重要類型，我們稱為解題基本模式，簡稱模式．典型結構與重要類型常常是問題的深層結構．
②當我們遇到一個新問題時，首先辨認它屬于已經掌握的哪個基本模式，然后檢索出相應的解題方法來解決，這是數學解題中的基本思考，也是解高考題的重要策略，我們叫做模式識別．
③拿到一道高考題題，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節？與這一章節的哪個類型比較接近？解決這個類型有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向也大體確定了．這就是高考解題中的模式識別．
④運用模式識別可以簡捷回答解題中的兩個基本問題，從何處下手？向何方前進？我們說，就從辨認題型模式入手，就向著提取相應方法、使用相應方法解題的方向前進．
（2）模式識別在求解高考題中的具體化．
對中學生的高考解題來說，“模式識別”就是將新的高考試題化歸為已經解決的題．有兩個具體的途徑：
① 化歸為課堂上已經解過的題．
理由1：因為課堂和課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導．離開了課堂和課本，學生還能從哪里找到解題依據、解題方法、解題體驗？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課堂和課本”這個根本．
理由2：因為課本是高考命題的基本依據．有的試題直接取自教材，或為原題、或為類題；有的試題是課本概念、例題、習題的改編；有的試題是教材中的幾個題目、幾種方法的串聯、并聯、綜合與開拓；少量難題也是按照課本內容設計的，在綜合性、靈活性上提出較高要求．按照高考怎樣出題來處理高考怎樣解題應是順理成章的．
②化歸為往年的高考題（或其變形）．
（4）模式識別的層次．
解題的模式識別通常有三個層次．
①直接用．拿到一道題目，經過辨認，它已屬于某個基本模式，于是提取該模式的相應方法來解決．（容易題）
②轉化用．遇到稍新、稍難一點的題目，可能不直接屬于某個基本模式，但將條件或結論作變形后就屬于基本模式．（中檔題）
③綜合用．遇到更新、更難的題目，變形也不屬于某個基本模式，那么，一方面可以將題目加以分解，使每一個子問題成為基本模式；另方面可以將基本模式加以深化或重組，用整合過的模式來解決新問題．（難題）
例5 已知拋物線的準線與圓相切，則的值為
(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4
（2010年高考數學陜西省理科第8題、5分）
例6 觀察下列等式：，，，…，根據上述規律，第五個等式為 ．
（2010年高考數學陜西省理科第12題、5分）
例7 (幾何證明選做題)如圖5，已知的兩條直角邊的長分別為3cm，4cm，以為直徑的圓與交于點，則 ．
（2010年高考數學陜西省理科第15題B、5分） 圖5
以上3題直接來源于課本．
例8 如圖6，三定點；三動點滿足
．
（Ⅰ）求動直線斜率的變化范圍；
（Ⅱ）求動點的軌跡方程． 圖6
（2006年高考數學陜西省理科第21題、12分）（參見文[5]）
講解 在汽車制造業中，法國雷諾汽車公司的工程師貝齊爾提出了一套利用伯恩斯坦多項式的電子計算機設計汽車車身的數學方法，本題的背景正是二次貝齊爾曲線，點的軌跡是一段拋物線．據說工人在制造飛機機翼時，正是在點的地方打上鉚釘，使得機翼的縱截面為拋物線．
雖然本題有伯恩斯坦多項式的高等背景，但求解第（Ⅱ）問只需三次應用當年的課本結論：若，不共線，則．（如圖7）
因此，不管問題的原始來源如何，對高考解題來說，化歸為課堂上已經解過的題是明智和可行的． 圖7
例9 真分數不等式．
真分數不等式有生動的現實情景，有分析法、綜合法、反證法、放縮法，構造法等10多種證明方法，可以作為一個不等式證明的基本模型．
題目 請從下面的現實情景中提煉出一個數學命題，然后給出嚴格的數學證明．
（1）糖水加糖變甜了．（糖水未飽和）
（2）某中學計劃招收高一新生人，使學生總數達到人，這樣高一新生所占比例為，現準備高一擴招人，則高一新生所占的比例變大了．
（3）盒中有白球和黑球共個，其中白球個，從中任取一個，取得白球的概率為，若再加入白球個，從中任取一個，則取得白球的概率增大了．
（４）建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積和地板面積之比應不小于10%，且這個比值越大，采光越好．現將窗戶面積和地板面積等積增加，則采光條件變好．
（５）某城市有一矩形廣場，該廣場為黃金矩形(它的寬與長的比為5：12)，現在中央設計一個矩形草坪，四周是等寬的步行道．能否設計恰當的步行道的寬度，使矩形草坪仍為黃金矩形？
講解 以“糖水加糖變甜了”為例．這是一個盡人皆知的生活事實，這里有數學道理嗎？該用什么樣的數學關系式來表示呢？
首先，這個情境具有不等式的必要因素與必要形式．變甜、變咸所表達的是大小關系，記為
．
這里用到了字母表示數的知識．
其次，這個情境代表什么不等式呢，它又應該用怎樣的式子表達出來呢？這要調動“濃度”的概念并繼續用字母表示數，設克糖水里有克糖（），則
而？
這還沒有把加糖反映出來，有待表示．再設加入克糖（），得
　
最后，“糖水加糖變甜了”就是．于是得到一個真分數不等式：若，，則
．
“糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空間．比如
（1）將3小杯濃度相同的糖水混合成一大杯后，濃度還相同．由這一情境可得等比定理：
．
（2）將幾杯濃度不盡相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的濃度一定比淡的濃而又比濃的淡．這又是托兒所小孩都知道的事實，但這里有“中間不等式”的必要因素與必要形式：對，，有
．
（3）取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個平均濃度，合在一起后又有一個濃度，這兩個濃度哪個大呢？這已經是一個有挑戰性的問題了，需比較
與
的大?。?br/>真分數不等式可以有分析法、綜合法、反證法、放縮法、構造圖形、構造定比分點、構造復數、構造函數等10多種證明方法，非常有利于溝通知識和方法之間的聯系．
很多高考題都可以用真分數不等式來求解，這一事實既說明真分數不等式可以作為一個不等式證明的基本模型，又說明求解高考題時可以化歸為課堂和課本已解決過的問題，或化歸為往屆高考題．這些高考題的求解，還可以體現模式識別的層次性（直接用、轉化用、綜合用）．
例9-1 如果那么（ ）．
（1989年高考數學廣東題）
例9-2 設是由正數組成的等比數列，是其前項和．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）是否存在常數，使得
．
（1995年高考數學理科第25題）
例9-3 已知數列為等比數列，，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設是數列的前項和，證明．
（2004年高考數學文科第18題）
講解 例9-2（1）與例9-3（2）可以認為是真分數不等式的變形用，如果我們沒有“化歸為課本已經解決的問題”的思想準備，可能就想不到用真分數不等式，或在變形式
與 ①
之間猶豫，而一旦想到用真分數不等式，則①已接近完成，因為為遞增的正項數列，有
．
得 ．
例9-4 對一切大于1的自然數，求證：．
（1985年高考數學上海題）
例9-5 已知數列是等差數列，，
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）設數列的通項，（其中），記前項和．試比較與的大小，并證明你的結論．
（1998年高考數學題理科第25題）
例9-6 已知是正整數，且，
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）證明(1＋m) n＞(1＋n) m．
（2001年高考數學理科第20題）
講解 （Ⅰ）要證，只需
．
而由真分數不等式，有
，（由，有）
相乘 ，
即 ．
例9-7 等比數列{}的前項和為，已知對任意的，點均在函數（且均為常數)的圖象上．
　?。?）求的值；
　?。?1）當時，記，證明：對任意的，不等式成立．
（2009年高考數學山東卷理科第20題）
解 （1）因為對任意的，點均在函數（且均為常數)的圖象上．所以得，當時，
，
當時，
，
又因為{}為等比數列，所以公比為（且)，從而，即 ，得．
（11）當時，
，
，
則 ，
所以
由真分數不等式有
，
從而
即 ，
得 ．
即成立．
這與例9-4 證明沒有本質的區別．
這幾道題目課本都沒有出現過，但例9-1可以認為是真分數不等式的直接用（加上余弦函數的單調性）；例9-2（Ⅰ）與例9-3（Ⅱ）可以認為是真分數不等式的變形用，對例9-4～例9-7可以認為是真分數不等式的整合用（多次連續或多個組合）．
第11招：差異分析．（參見文[6]）
（1）差異分析的基本含義．
①目標差：我們把題目的條件與結論之間的差異稱為目標差，解題的實質就在于設計一個使目標差不斷減少的過程．
②差異分析法：通過尋找目標差，不斷減少目標差而完成解題的思考方法，叫做差異分析法．
（2）差異分析法的使用步驟．
①尋找目標差：通過分析題目的條件與結論中所出現的元素，元素間所進行的運算，以及元素間所存在的數量特征（如系數、指數、函數名稱、自變量等）、關系特征（如運算方式、大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去尋找異同點．
②作出消除反應：對于所找出的目標差，要運用基礎理論與基本方法立即作出某種減少目標差的反應．
③積累消除效果：減少目標差的調節要一次又一次地發揮作用，使得對目標差的減少能積累起來，漸次逼近，直至消除，最終完成解題．
（3）差異分析法的基本功能．
①差異分析法是“綜合——分析法”的一種特殊形式，可同時具有綜合法與分析法的雙重優勢．
②運用差異分析法解題可以同時回答“從何處下手”與“向何方前進”這兩個基本問題：我們說，就從分析目標差入手，就向著減少目標差的方向前進．
經常看到一些同學，拿著題目一籌莫展，找不到解題的突破口，連下手的地方都沒有，這在很大程度上是不會找目標差，或見到目標差卻不能作出反應．還有的同學常在成功的思路上受阻，其原因是不善于把目標差的逼近積累起來．
對于一類恒等式或不等式證明題，這一策略常能湊效．特別地，三角題可以通過角、函數名稱、運算方式等的差異分析來求解．
例10 已知數列的首項，，．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）證明：對任意的，，；
（Ⅲ）證明：．
（2008年高考數學陜西卷理科第22題）（參見文[7]）
講解 由第（Ⅰ）問易得，因此第（Ⅱ）問可以認為是一道數列不等式的恒成立問題：已知數列，證明：對任意的，
，． ①
對比①式左右兩邊可以看到，有3個明顯的差異：
（1）右邊有正數，左邊沒有．（恒成立問題）
（2）左邊有，右邊沒有明顯表出．
（3）右邊有或，左邊沒有明顯表出．但由知
， ②
這就提供了溝通①式左右聯系的線索：
思路1：把右邊的統一為的不等式；
思路2：把左邊的統一為的不等式；
思路3：把左右兩邊統一為的不等式；
事實證明這些思路全都是可行的，比如
證明 把統一為，有 ，得
右邊=
（關于的二次三項式）
．（二次三項式求極值）
這個證明表現為一系列恒等變形，若將首尾兩行獨立出來就得到一個恒等式
．
這個等式的外形影響我們對本質的直接揭示，將其改寫為不等式左邊減右邊的形式，有
． ③
這就清楚了，不等式①通過②可以等價于實數的平方為非負數，并且的條件不是必要的（就夠了），書寫也立即可以改寫為基本不等式證法．
例11-1 設，求
+．
（1985年高考數學理科第二（4）題）
解法1 由二項式定理有
，
與已知條件作比較，得
，
則 ．
可見，最終歸結為的計算，這也可以由“差異分析”得出．
解法2 讓我們將已知式與求值式逐項對齊，并進行差異分析
可見，已知式中的項有字母，結論中的每一項都沒有字母．“沒有字母”是什么意思？可以理解為每一項的字母都等于1，消除差異的辦法應同時取
所以取代人已知式，得
．
評析 可見，在差異分析觀點之下，取值就不是一個妙手偶得的特殊技巧了，而是一個策略思想的具體實施．并且，這一經驗積累，又與“特殊化”和“整體處理”的策略思想相通，可以用來處理很多數學問題，比如下面幾道類似而又有變通的高考題（化歸為往年的高考題）：
例11-2 已知，那么．
（1989年高考數學第16題）
解 設，則
． 填．
說明 我們在閱卷中發現，相當一部分考生令得答案為，其實得到的是
，
而所求的值，應再減去，從而
．
究其原因，是考生一見題型很熟悉（如例11-1及課本相關習題中見過），沒有認真看清題目的小變化，就匆匆作答，結果“會而不對”．
例11-3 若，則
的值為（ ）
（A）1 （B） （C）0 （D）2
（1999年高考數學理科第8題）
解 設，則
．選（A）．
說明 若把所求式展開為
，
會由于求不出平方而導致思路中斷，這叫做高考解題的“策略性錯誤”．
例11-4 若，則
．(用數字作答)
（2004年高考數學天津卷理科第15題）
解 設，則
例11-5 已知，則
的值等于 ．
（2007年高考數學安徽文科第12題）
解 分別取，有
，
，
解得 ，
所以 ．
說明 若由已知求出，由結論化為
，
不是不可以計算，而是犯有高考解題的“策略性錯誤”．
例11-6 若，則
．(用數字作答)
(2008年高考數學福建卷理科第13題)
這與例11-2類似．
例11-7 若，則的值為（ ）．（A）2 （B）0 （C） (D) （2009年高考數學陜西卷文、理科第6題）
解 設，則
，
，
相減 ．
說明 （1）為什么7年都考此類題？看來不是為了考二項式定理，而是考“特殊與一般的基本數學思想”、“整體處理”的基本數學思想．高考注重數學思想的考查．
（2）由7年都考此類題，可感悟高考解題的一個基本思路：模式識別（化歸為課堂上已經解決的問題、化歸為往屆高考題），差異分析．
第12招：層次解決．（參見文[8]）
（1）層次解決的基本含義．
人們在創造性解決問題的過程中，思維是按層次展開的，先粗后細，先寬后窄，先對問題作一個粗略的思考，然后逐步深入到實質與細節．或者說，先作大范圍的搜索，然后再逐步收縮包圍圈．數學解題也是一個創造性活動，也可以層層深入地解決，我們叫做三層次解決．
①一般性解決．即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向．這是對思考作定向調控．
在這一層次上，根據中學階段課程體系的結構，我們認為自覺應用函數思想和方程思想是十分有益的．
②功能性解決．即在數學方法水平上的解決，以確定具有解決功能的解題手段，這是對解決作方法選擇．
③特殊性解決．即在數學技能水平上的解決，以進一步縮小功能解決的途徑，明確運算程序或推理步驟，這是對技巧作實際完成．
在進行三層次解決時，每一層次又可能有三層次解決．
（2）實例理解．
例12　已知是實數，又函數，，當時，，證明．
（1996年高考數學第25題第（2）問）
講解　第一層次：假若存在，使降為一次式，并等于，則命題便能得證
． ①
這提供了一個方向，需要我們從方法上去落實．
第二層次：為了找出兩個未知數，我們利用①所提供的等量關系來建立方程．即去找滿足
　　　　　　 ②
的，這時暫時看成已知數．這就提供了一個方法，是從方程的觀點上來思考的．
第三層次：一般說來，方程未必都有解，有解也未必都能求出來，具體到②情況如何呢？我們對上式作變形，有
，
取　　 ③
可得　　　 ． ④
這說明思路是通的．這就從操作層面落實了當初的想法．
證明　對，有
　　　　，，
又 ，
得　　　　 ．　
第13招：數形結合．
（1）數形結合的基本含義．
在解題中，既用數的抽象性質來說明幾何形象的事實，又用圖形的直觀性質來說明代數抽象的事實，在數與形的雙向結合上尋找解題思路，叫做數形結合．這是一個極富數學特色的信息轉換，在選擇題、填空題中我們已經見過很多數形結合解題的實例．
（2）數形結合的主要途徑．
①通過坐標系．可以是直角坐標系，也可以是極坐標系，有時還考慮復平面．
②轉化．可以把數與形的轉化關系列成對照表．如把正數轉化為距離，把正數（或）轉化為面積，把正數（或）轉化為體積，把整式轉化為勾股定理，把整式轉化為余弦定理，把轉化為三角形的三邊關系等．
③構造．比如構造一個幾何圖形，構造一個函數關系等等．
（3）數形結合的原則．
數形結合要防止失誤，避免人為復雜化，需遵守三個原則：
①等價性原則．是指代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題會出現漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現數的一般性，這時的圖形性質只是一種直觀而顯淺的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導．
②雙向性原則．就是既進行幾何直觀的分析，又進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數問題進行幾何分析或者僅對幾何問題進行代數分析都是一種天真的誤解．
③簡單性原則．找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數方法、或者兼用兩種方法來敘述，取決于哪種方法更加優美、更加簡單、或更便于達到教學目的，而不是像一種流行的模式那樣代數問題用幾何方法，幾何問題用代數方法．
例13 （ ）．
（A） （B） （C） （D）不存在　　　　　
（2010江西理科第5題、5分）
講解 我們用數形結合的方式來處理，使沒有學過極限的人也能接受．
（1）對于沒有學過極限的同學，我們先來解釋一下．
如圖8，對3長的線段三等分，取一份；對取出的1長線段三等分，取一份；對取出的長線段三等分，取一份；……如此類推，被取出的線段越來越短，無限接近于0．
……………
　　 圖8
對應為數列：有
當增大時，接近于0；
當越來越大時，越來越接近于0；
當很大很大時，很接近很接近于0；
當很大很大很大時，很接近很接近很接近于0；
……
當無限增大時，無限接近于0．
這一段板書，配上不斷加重語氣的解說，將有助于理解的本質．“很接近”是一個特征但還不是本質，無限接近才是．那么怎樣來講授無限呢？這里是用多次重復來暗示“無限”，是用語言夸張來提示“無限”；省略號的地方既是停頓更是聯想（此時無聲勝有聲），讓學生的思維按照上面步步加強的暗示和提示去相信并接受“無限”．
數學上用兩個不等式來反映兩個無窮過程：
——無限增大的量化刻畫，
——無限接近的量化刻畫．
這樣，無限變化就可以進行數學運算了．
（2）你能類比猜想：
圖7中，當中間的線段趨向于0時，兩邊的線段之和都趨向于，應是
（3）你能獨立找出的一個幾何解釋嗎．
如圖9，的矩形中每個小矩形的面積為1，將其三等分，左右各放一等分，留下中間的小矩形（實現求和的第1項）；將中間小矩形三等分，左右各放一等分，留下中間的小矩形（實現求和的第2項）；……如此類推，則中間留下的部分面積趨于0，而左右兩邊小矩形面積之和趨于．
…………
圖9
（4）再找出一個幾何解釋．（能找出來就真明白了，否則是假明白，見圖10）
這幾個直觀演示有兩個特點：
特點１　能同時演示兩個無窮過程：
其一是通項趨向于0：，
其二是部分和趨向于．即．
特點２　將無窮的過程始終置于我們視野之內的有限圖形 圖10
之中，看得清楚，聽得明白，直觀、顯淺．
（5）變式推廣：的直觀演示．
講解 取一條單位線段，將其等分，把等份分別給個同學（實現求和的第1項），留下1等份；將留下的小線段等分，把等份分別給個同學（實現求和的第2項），留下1等份；……如此類推，則留下的小線段越來越短、無限接近于0，而個同學的小線段之和越來越長、無限接近于1．于是，每個同學的小線段之和趨于．
例14 設數列的前項和為．若對于所有的正整數，都有
， ①
證明是等差數列．
（1994年高考數學文科第25題）
講解 為了證明為等差數列，只需要證三點共線（把數化為形），寫成表達式就是（把形化為數）
， ②
對比①、②兩式的差異最顯著的就是①含部分和，而②只有通項．這就導致我們尋找與之間的聯系（尋找到目標差），想起公式（作出減少目標差的反應）
，
當時，把已知條件代入（繼續作出減少目標差的反應），可得
，
變形 ，
化成比例并且遞推，可以得出
，
得 ．
于是，通過差異分析，我們找到了一個成功的解法，特點是數與形的結合思考．下面的例15、例17也有數形結合的思考
第14招：選擇題“小題小做”．
高考選擇題承載著全面考查“雙基”、廣泛覆蓋知識點的功能，具有“單、多、廣、活”的特點（內容比較單一、數量比較多、覆蓋面比較廣、題型比較活潑），主要檢查基礎知識理解不理解、基本技能熟練不熟練、基本運算準確不準確、基本方法會用不會用、考慮問題嚴謹不嚴謹、解題速度快捷不快捷，要求學生“熟、準、快”（內容熟識、概念準確、推演快速），近年，其易、中、難的比例約為4：5：1，難度系數約為左右．
在近年的高考中，選擇題能占到試卷總分（150分）的40%（60分）和學生得分的50%左右，是學生得分的重要來源．
從高考臨場的角度看來，為了給難度較大、分值較高的解答題留下較多的思考時間，每道選擇題應爭取在1、2分鐘內完成，3分鐘還完不成的題就先跳過去，總計時間控制在20～30分鐘以內．因此，把握選擇題的解法，必須包括這樣一個戰略性的目標：快速求解，小題小做．
問題是，怎樣才能“快”呢？我們認為，速解選擇題的關鍵是充分利用選擇題在結構形式和回答方式上提供的新信息．
選擇題的求解有6個基本方法又各有肯定形式與否定形式的12個技巧解法，列表表示如下：（參見文[2]第三章）
肯定一支（策略1） 否定三支（策略2）
求解對照法 順推肯定法 順推否定法
逆推代入法 逆推肯定法 逆推否定法
特值檢驗法 特值肯定法 特值否定法
邏輯分析法 邏輯肯定法 邏輯否定法
直觀選擇法 直觀肯定法 直觀否定法
特征分析法 特征肯定法 特征否定法
在具體使用這些方法時，應該認識到求解對照法是用得最多的通用方法，當其他方法都無能為力時，求解對照常能成功；但在使用求解對照前，我們應先考慮其他方法能否奏效，盡量避免“小題大做”．同時，還應注意多種方法的交替使用．
例15 若滿足，滿足，則（ ）．
（A） （B） （C） （D）
（2009 年高考數學遼寧卷理科第12題）
解法1 （數形結合）由已知有
，
　　 ，
即　　　 ，
　　　　 ，
作出，的圖象（如圖11）， 圖11
它們關于對稱，它們與的交點的中點為與的交點的橫坐標為
，
得 +=．選C．．
解法2 （代數推理）由已知有
， ①
　　　　　 ， ②
這表明，單調函數在兩處的函數值相等，由單調性得自變量相等
，
代人①得
+=．選C．
也可以認為單調函數在兩處的函數值相等．
解法3 （特征否定法）由滿足，滿足，得
有 ，
相加知 ，
這就排除了（A）、（B）、（D），選（C）．
評析 如果考生的知識系統不完整，不知道方程與函數的聯系，本題會無從下手．如果考生的知識系統比較完整，用數形結合或代數推理的方法均可以完成，但有小題大做的浪費；若能洞察題目有單調函數的背景，并掌握選擇題的特點，則由估算就能排除A、B、D，很快得出C．相關題：
（1）人教版高中數學必修1（A版）練習：借助計算器或計算機，用二分法求方程在區間內的近似解（精確到0．1）
（2）（第9屆希望杯高二競賽題）設依次是方程的根，則 ．（繼續參見文[9]例2，文[10]例1）
例16 已知函數，是的反函數，若（），
則的值為（ ）
（A） （B）1 （C）4 （D）10
解法1 先求出的反函數為，則
解法2： 由知小于0，對照4個選項，B，C，D皆可排除故選A．
解法3： 取，得 ．
說明：本例了考查函數與反函數的概念，對數（或指數）運算．解法2、3體現了選擇題的特點．還可以取等特數值來簡化運算．
第15招：填空題“以快為上”．
填空題與選擇題、解答題一起組成當前高考試卷的三大題型，通常，填空題的題量（4～6題）和分值（占16～30分）都是高考三大題型中最低的，而難度則介于選擇題與解答題之間（難度系數約為左右）．當前，在減弱選擇題的同時，出現加強填空題的趨勢．
雖然填空題的平均難度只是中等，但在三大題型中卻是最容易丟分的，一步思慮不周、一次細節疏忽、一個心理差錯都會導致“全題皆空”．求解填空題必須抓住填空題的４個特點，做到“結論正確、方法合理、過程簡潔”，確保成功率．
（1）填空題的主要特點．
填空題的求解與選擇題、解答題的求解既有共通性，又有特殊性，我們既應掌握共通性，更應重視特殊性．其中填空題的下述４個特點尤應抓?。?br/>①與選擇題相比，填空題缺少選擇支的信息，更像一道不寫過程的解答題，因而解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上來，由此產生直解法．但是與解答題相比，填空題的求解更強調準確、快速．
②與解答題相比，填空題不用說明理由，又無須書寫過程，這一方面是要求每一步都不允許出錯，另一方面是允許像解選擇題一樣用“合情推理”等策略，由此產生特例法、圖解法、猜想法等．但是，與選擇題相比，填空題缺少4個選擇支的信息，合情推理的難度要大得多．
③由于填空題常常用來考查基礎知識、基本技能，強調概念性、淡化運算量（叫做“大概念、小計算”，或“多一些想、少一些算”），因而大多是一些能從課本找到原型或背景的題目（中檔題為主），可以通過觀察、聯想、轉化，化歸為已知的題目或基本的題型．這是填空題與一些高檔綜合題的重要區別．
④在考試中，由于填空題只寫出最終結果，因而像選擇題一樣具有評分客觀、公正、準確的特點．同時，也正因為不設中間分而失去了像解答題那樣“分段得分”的機會，“一步失誤、全題皆空”，其失分率比選擇題、解答題都高．還是由于填空題不呈現思維過程，所以只能“難度中等、分值不高”，考試中要“以快為上”、避免“小題大做”，否則，做對了也是“潛在丟分”或“隱含失分”．
（2）求解填空題的基本建議．
根據以上特點，解答填空題的要旨在于“結論正確、方法合理、過程簡潔”．提出9條建議．
①能否根據概念、定理、公式、法則等數學基礎知識直接得出答案；
②能否通過明顯的幾何意義迅速得出答案；
③能否通過挖掘隱含條件而獲得解題的突破口；
④能否通過分類討論而消解難點；
⑤能否通過“整體代入”、“設而不求”、“活用定義”、“巧用公式”等而簡化過程；
⑥能否化歸為課本已經解決的問題；
⑦能否化歸為往年的高考題；
⑧能否使用求解填空題的特殊方法與技巧；
⑨定量型的填空題一定要運算到最終結果，并且，除非規定了精確度，否則都要保持準確值．
（3）填空題的常用解法有直接法，特例法，圖解法，猜測法等．
例17 設等差數列的前項和為，若，則的最大值為____．
（2008年高考數學四川卷理科第16題）
思路1 （函數與方程的數學思想方法）若把求等差數列第4項的最大值，從單純的數列知識中跳出來，置于函數觀點之下，則問題便轉化為求函數的最大值．一般地，為了確定函數的最大值，通常需要完成4件事：
（1）求出函數的表達式（用，或用表示）；
（2）確定函數表達式中有關字母的取值范圍（由提供）；
（3）由以上兩項具體放大為常數；
（4）驗證常數可以取到，得的最大值．
解法1 （直接法）由
可解得 ．
有 ，
當時，可以取到最大值4．填4．
說明 本解法的關鍵是得出恒等式，這也可以由待定系數法直接找到．
解法2 （直接法）設，有
，
得
所以 ，
當時，可以取到最大值4．填4．
思路2 （數形結合的數學思想方法）這兩個解法在函數與方程的觀點駕馭之下，得心應手地調動了等差數列的知識（通項公式、求和公式）、方程知識，以及待定系數法、放縮法等，其著眼點主要放在上．如果我們的著眼點放在上，則可看成平面直角坐標系上的直線，而已知條件就是線性規劃的約束條件，解法是現成的．
解法3 （圖解法）建立平面直角坐標系，則
為約束條件，為目標函數．在坐標系上畫出可行域（圖12），可知當直線過可行域內點 圖12
時截距最大，此時，目標函數取最大值．
說明 這個例子溝通了數列、函數、線形規劃之間的聯系，使得數學解題的過程成為溝通知識更廣泛聯系的過程，成為發生數學的過程．
第五部分、分段得分．
一道高考題做不出來，不等于一點想法都沒有，不等于所涉及的知識一片空白，尚未成功不等于徹底失?。畣栴}是，如何將片段思路轉化為得分點，從而“分段得分”．
（1）考生“分段得分”的法定依據是高考“分段評分”．
在高考中，由于有的人理解得深，有的人理解的淺，有的人解決得多，有的人解決得少，為了區別這些情況，閱卷時總是按照所考查的知識點，分段評分．踩上了知識點就給分，多踩多給．據此考生答題就應該也必然是“分段得分”．
由于平時做作業，教師總是要求學生“全做全對”，不實行“分段評分”，所以學生在高考時就不習慣“分段得分”，這就把平時做作業與高考競爭混為一談了，因此，考生必須從高考性質與評分辦法上去理解，轉變觀念，心理換位．教師在模擬訓練時也應提醒這一點．
（2）分段得分的基本內容是：防止“分段扣分”，爭取“分段得分”．
“分段評分”本身既包含著“分段給分”，也包含著“分段扣分”．因此，考生應“會做的題不丟分，不會做的題拿足分”．
①會做的題目，要力求不丟分．
情況表明，對于考生會做的題目，閱卷教師更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，這時要特別解決好“會而不對、對而不全” 力求不丟分．（參見文[3] 問題16、問題17）
相反，對考生未能正確解答或未能完整解答的題目，閱卷教師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”．
②部分理解的題目，要力求多得分．
對于多數考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中多得點分段分，其實質是多出現幾個相關的知識點．
從原則上講，每一個考生做每一道題都不會一無所知，得零分的原因無非兩條：沒有時間做；不會把自己所掌握的知識表達出來或表達錯了．
（3）分段得分的技術基礎是解題策略．
分段得分的技術基礎是解題策略在考試中的應用．下文將會顯示，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略，暴露解題思考的真實過程就是分段得分的全部秘密．
　?。?）分段得分的總體功能．
對于一道拿不下來的題目，實施分步得分的初衷是得部分分，但實施的過程也是解題策略的運用過程，正確策略的運用就帶來了全題解決的前景．所以，運用解題策略同時具有分段得分與全題解決的雙重功能：進可全題解決，退可分段得分．
（5）分段得分的主要技術有：缺步解答； 跳步解答；退步解答；倒步解答；輔助解答．
第16招：分解分步——缺步解答．
數學研究中，遇到一個很困難的問題，實在啃不動，一個明智的策略是，將它分解為一系列的步驟，或者是一個個子問題，先解決問題的一部分．把這種情況反映出來，那就是在高考答題中，能演算幾步就寫幾步，能解決到什么程度就表達到什么程度．特別是那些解題層次明顯的題和那些已經程序化的方法，每進行一步得分點的演算都可以得到這一步的滿分，最后結果雖然沒有得出來，但分數卻拿了不少．
解答題有好幾問，只完成一二問就是缺步解答，應用題“設、列”沒有“解、答”也是缺步解答．
例18 已知雙曲線的左、右頂點分別為，，點，是雙曲線上不同的兩個動點．
（Ⅰ）求直線與交點的軌跡的方程;
（Ⅱ）若過點的兩條直線和與軌跡都只有一個交點，且，求的值．
（2010年高考數學廣東卷理科第20題）
講解 本例的第（Ⅰ）問是一道成題（相關資料有純粹性的漏洞）．但是，成題也有高達52．8%的考生得0分，平均僅得1．47分，難度系數為0．10．其實，只要考生會把所掌握的知識呈現出來，得0分是很難的：
（1）由題設知，，，則有
直線的方程為， 　　 （1分）
直線的方程為． 　　　　　　　?。?分）
　　　（２）聯立，解得交點坐標為，，即
　　　　　　，，　　　　　　　　　　　　　　（4分）
　　對于絕大多數考生來說，直線方程兩點式、解方程求交點應是過關的，得0分只能是考試技術不過關．
算到4分段是“缺步解答”（已經第（Ⅰ）問得分過半），更重要的是，有機會繼續由
“點在雙曲線上”（即）， （5分）
消去，得
，且． （7分）
（“且”不全或沒有寫出扣一分）
這就第（Ⅰ）問全體解決了．
例19 設圓滿足：
①截軸所得弦長為2；
②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，
在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．
（1997年高考數學理科第25題、12分）
講解 這是一道抽樣得分只有1．02分的難題，涉及多個條件、多個字母的處理，但是，即使綜合能力不強的考生，也不難將題目所述的條件“轉譯”為數學表達式．
①設圓的方程為：
．
②由圓“截軸所得弦長為2”有　　　　　　　　　　　　　　
．　　　　　　　　　　　　　 　
③由圓“被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1”，知劣弧所對的圓心角 ．
④圓心到直線的距離為 ． 圖13
這就有希望獲得總分的一半，并且為全體解決奠定了基礎．
缺步解答的例子繼續參看例21、例22．
第17招：引理思想——跳步解答．
解題過程中卡在某一個過渡環節上是常見的，這時，我們可以先承認它，作為一個中間結論，接著往后推，看能否得出結果．如果得不出結論，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，我們就回過頭來，集中力量攻克這個“中途點”或“引理”．
這是一個常識性的解題策略，但是由于高考時間的限制，“引理”的攻克來不及了，那么可以先把前面的寫下來（已經分段得分），再寫上“證實某某之后，繼而有…”，一直做到底，保持了整個解題思路的完整，這就是跳步解答．
這個攻不下來的“中途點”可能就是關鍵步驟，理應扣分，但后面部分能得點分，如果這個攻不下來的“中途點”并非關鍵步驟，那么整題的丟分就很少，這比完全不寫或只寫前半部分強得多．
也許后來，中間步驟又想出來了，不要亂七八糟地插上去，可補在后面，寫“事實上，某某步可以證明如下”．這樣，整個解答就天衣無縫，一氣呵成，也整齊清潔了．
對于有二三問的題目，若第一問做不出來時，可“跳步解答”先做第二問或第三問．有時，考題前后兩問本來就是無關的，先做那個都無所謂；若前后兩問是有關系的，則可把前一問作為已知條件，參與解決下一問．
例10完成第（Ⅰ）問得后，立即做第（Ⅲ）問就是跳步解答．記，有，由柯西不等式，得
．
例21 已知函數．若．且．證明
．
（1994年高考數學理科第22題、12分）
講解 左邊=
， （6分） ①
右邊=． ②
這里的關鍵步驟是由已知推出①大于②，
如果只做到①，就叫做缺步解答．繼續作分母放大需要如下的理由，評分標準規定給3分：
因為，故有 ③
， ④
從而 ⑤
得 ， ⑥
跳過這些理由③～⑥，直接由①寫
⑦
．
就是跳步解答，既保持了書寫的完整，又多呈現了一個知識點
．
如果后面又想出了⑤式的證明，可補充：其實，不等式⑦可以證明如下……
第18招：以退求進——退步解答．
“以退求進”是一個重要的解題策略．如果我們不能馬上解決所面臨的問題，那么，可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論．總之，退到一個能夠解決的問題，認透了，鉆深了，然后再上去．
高考中，退而能進，問題就解決了．但是，由于時間關系，退下去進不來怎么辦？比如，一個三角形的性質做不了，可先做正三角形或直角三角形，為了不產生“以偏概全”的誤解，我們建議用分情況討論的辦法來解決，使得“退”成為有機整體的一部分，于是宏觀把握的格局是存在的，邏輯關系是清楚的，進可全題解決，退也不是邏輯混亂、可得分段分．上面說的三角形問題，可開門見山地寫上討論分三種情況：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形．
實數 的問題可分，，三種情況，或為整數，為有理數，為無理數的三種情況來討論，分類標準的采用，取決于自己能完成什么．
特殊化和分類，都是極具數學特征的思維方法，“退可分段得分，進可全題解決”．
例22 設對所有實數，不等式
恒成立，求的取值范圍．
（1987年高考數學文科第六題、理科第五題、12分）
講解1 當年沒有幾個考生能完整求解本題，但僅憑初中的知識便可看成二次三項式恒大于0，從而，首項系數大于，判別式小于
這可得5分．下來解不等式，是有困難的，但整個不等式組解不了，依然可以解前兩個不等式，這就是缺步解答，雖然完整答案沒有出來，而得分已經過半了．
講解2 也許我們對無窮個做不了，但應該會做，問題是怎么告訴閱卷老師，我們的建議是分為必要性與充分性兩個步驟來求解．
（1）必要性．取，有
，
即 ，
得 ．
（2）充分性．這時即使不會也接近“得分過半”了．然而，對充分性我們至少還可由有，推出，這只不過是必要性過程的逆寫，這不僅有機會得分，而且有可能將問題轉化為：若，則
　　　　?。?br/>這又使我們關注題目中三個對數符號的關系，有
，
，
并導致一部分同學的最終解決：
左邊=．
由此可得問題的簡單解決．
解 作變換，則已知式為
，
即 ．
不等式恒成立的充要條件為
，
解得．（參見文[11]）
所以說：退步解答“退可分段得分，進可全題解決．”
第19招：正難則反——倒步解答．
“正難則反”是一個重要的解題策略，順向推有困難時就逆向推，直接證有困難時就間接證，從左邊推右邊有困難時就從右邊推左邊．如果從已知條件出發實在無法下手，前段分就怎么也得不著了，那可轉而拿后段分，主要的辦法有兩個：
其一，用分析法，從肯定結論入手，執果索因；
其二，用反證法，從否定結論入手，找矛盾．
應該看到，分析法是重要的思維方法，反證法是證明大法，逆向思維充滿著創造性．我們實施倒步解答，不僅想得點分段分，而且更想將全題解決．
例23 二次函數方程的兩個根滿足．當時，證明：．
（1997年高考數學理科第24題第（1）問）（參見文[12]例2）
分析 欲證，
只須 ，（用條件）
只須 ，（方程有兩個根）
只須 ．?。ㄓ脳l件）
這顯然成立．當年的大難就這樣化解了．
例24（1）已知為實數，并且，其中是自然對數的底，證明．
（2）如果正實數滿足．且，證明
（1983年高考數學理科第九題、12分）
分析 （1）（分析法）當時，要證，
只須證 ，
只須證 ．
只須證內是減函數．思路已通．
（2）（反證法）假設不成立，則存在這樣的，使或．
若，則因，有
（此處為減函數）
，（此處為增函數）
與矛盾．
若，則因，有 ，
（此處為減函數）
，（此處為增函數）
與矛盾
所以．（由于兩種情況下的處理方式是類似的，因而可以作統一書寫．）
證明?。?）考慮函數，因為時，，所以函數內是減函數，對，有
，
得
（2）假設不成立，由知指數函數為減函數，有
． ①
又由冪函數在為增函數，有
， ②
①+②并代入得
，
這一矛盾說明，只有．
以上例子說明，倒步解答確實有誘發“全題解決”的功能，并且還有可能找到較優秀的解法．
第20招：掃清外圍——輔助解答．
一道題目的完整解答，既有主要的實質性的步驟，也有次要的輔助性的步驟．實質性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智的，既必不可少也不困難．這就像打攻堅戰時先掃清外圍．
輔助解答是十分廣泛的，如準確作圖，把題目中的條件翻譯成數學表達式，設應用題的未知數并寫出相應的代數式，設極值題的變量并用以表示其它量，設軌跡題的動點坐標并用以表示其它條件，進行反證法或數學歸納法的第一步等．
例25 雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于兩點．若，，求雙曲線的方程．
（1991年高考數學理科第26題、12分）
講解 當年，能完整求解本題的考生很少，難點在方程組的消元求解，但將題目中語言敘述的4句話翻譯為數學表達式并不困難（也必不可少）．
（1）由“雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上”可設雙曲線的方程為
． ①
（2）“過雙曲線右焦點且斜率為的直線”可設為
． ②
（3）由“”有， ③ 圖14
（4）由“”有． ④
這就可以得4分．接下來只要注意到“直線交雙曲線于兩點”就可以聯立①、②得
． ⑤
并且（否則過焦點且斜率為的直線與雙曲線交于一點），這又可以得1分．更重要的是，由⑤還可得
，　　　　　　　 ⑥
或　　　 　　　　　　　 ⑦
從而表示出交點，這時不僅能得分過半，而且整個思路已經通了，為全題解決（求出雙曲線方程為x2－=1）奠定了基礎．
對于個別選擇題、填空題不會做，“大膽猜測”也是輔助解答．猜測是一種能力，解答題亦離不開大膽猜測．
書寫也是輔助解答，“書寫要工整，卷面能得分”是說第一印象好會在閱卷教師的心理上產生光環效應：書寫認真——學習認真——成績優良——給分偏高．
以上臨場的藝術，總結了命題教師、閱卷教師、錄取教師和應考學生的經驗，成功之處是集體的智慧，不足之處是個人的失誤．
參考文獻
1 惠州人．考前寄語[J]．中學數學教學參考，1993，6
2 羅增儒．怎樣解答高考數學題[M]．陜西師范大學出版社．1995，1
3 羅增儒．高考復習20問[J]．中學數學教學參考（上旬），2010，5
4 羅增儒．數學解題中的“模式識別”[J]．中學數學教學參考．2006，10～11
5 羅增儒． 由考題談背景——2006年全國高考數學陜西卷理科第21題[J]．中學數學教學參考（上半月），2007，5～6
6 羅增儒．差異分析法[J]．中學數學教學參考．2002，6
7 羅增儒．高等背景、初等解法——談2008年全國高考數學陜西卷（理科）第22題[J]．中學數學教學參考（上旬），2009，1～3
8 羅增儒．解題教學的三層次解決[J]．中學數學教學參考（中旬），2010，5
9 羅增儒．解題分析——解題教學還缺少什么環節？[J]．中學數學教學參考，1998，1～2
10 羅增儒．解題分析——看透本質就可以引申[J]．中學數學教學參考，1998，11
11羅增儒．一道高考繁題的簡解[J]．北京科技報告高中版，1987，9，15第291期
12羅增儒．解題分析——分析解題過程的兩個步驟[J]．中學數學教學參考，1998，5
基
本
形
式
基
本
方
法

展開更多......

收起↑