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第1煉
命題形式變化及真假判定
一、基礎(chǔ)知識：
（一）命題結(jié)構(gòu)變換
1、四類命題間的互化：設(shè)原命題為“若，則”的形式，則
（1）否命題：“若，則”
（2）逆命題：“若，則”
（3）逆否命題：“若，則”
2、，
（1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為
（2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為
3、命題的否定：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法
（1）一些常用詞的“否定”：是→不是
全是→不全是
至少一個→都沒有
至多個→至少個
小于→大于等于
（2）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對應(yīng)改變，同時均變?yōu)椋?br/>或→且
且→或
（3）全稱命題與存在性命題的否定
全稱命題：
存在性命題：
規(guī)律為：兩變一不變
①
兩變：量詞對應(yīng)發(fā)生變化（），條件要進行否定
②
一不變：所屬的原集合的不變化
（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián)。
1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關(guān)聯(lián)
2、，，如下列真值表所示：
或
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
且
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
簡而言之“一真則真”
簡而言之“一假則假”
3、：與命題真假相反。
4、全稱命題：
真：要證明每一個中的元素均可使命題成立
假：只需舉出一個反例即可
5、存在性命題：
真：只需在舉出一個使命題成立的元素即可
假：要證明中所有的元素均不能使命題成立
二、典型例題
例1：命題“若方程的兩根均大于，則”的逆否命題是（
）
A.
“若，則方程的兩根均大于”
B.
“若方程的兩根均不大于，則”
C.
“若，則方程的兩根均不大于”
D.
“若，則方程的兩根不全大于”
思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結(jié)論否定后并進行調(diào)換，“”的對立面是“”，“均大于”的對立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調(diào)換順序即可，D選項正確
答案：D
例2：命題“存在”的否定是（
）
A．
存在
B．不存在
C．
對任意
D．對任意
思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻保Z句對應(yīng)變化，但所在集合不變。所以變化后的命題為：“對任意”
答案：D
例3：給出下列三個結(jié)論
（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題
（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”
（3）命題“”的否定是“”，則以上結(jié)論正確的個數(shù)為（
）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
思路：（1）中要判斷的真假，則需要判斷各自的真值情況，為假命題，則為真命題，所以一假一真，為真命題，（1）錯誤
（2）“若……，則……”命題的否命題要將條件和結(jié)論均要否定，而（2）中對“或”的否定應(yīng)該為“且”，所以（2）錯誤
（3）全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確
綜上只有（3）是正確的
答案：C
例4
：有下列四個命題
①
“若，則互為相反數(shù)”的逆命題
②
“全等三角形的面積相等”的否命題
③
“若，則有實根”的逆否命題
④
“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題
其中真命題為（
）
A.
①②
B.②③
C.
①③
D.
③④
思路：①中的逆命題為“若互為相反數(shù)，則”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。時，判別式，故方程有實根。所以原命題為真命題，進而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個三角形三個內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確
答案：C
小煉有話說：在判斷四類命題的真假時，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對應(yīng)的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點進行求解
例5：下列命題中正確的是（
）
A.
命題“，使得”的否定是“，均有”
B.
命題“若，則”的否命題是“若，則”
C.
命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題
D.
命題“若，則”的逆否命題是真命題
思路：分別判斷4個選項的情況，A選項命題的否定應(yīng)為“，均有”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結(jié)論均否定。C選項的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯誤
答案：B
例6：如果命題“且”是假命題，“”也是假命題，則（
）
A.
命題“或”是假命題
B.
命題“或”是假命題
C.
命題“且”是真命題
D.
命題“且”是真命題
思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時通常先判斷每個命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷。題目中以為入手點，可得是真命題，而因為且是假命題，所以只能是假命題。進而是真命題。由此可判斷出各個選項的真假：只有C的判斷是正確的
答案：C
例7：已知命題：若，則；命題：若，則，在命題①；②；③；④
中，真命題是（
）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④
思路：可先判斷出的真假，從而確定出復(fù)合命題的情況。命題符合不等式性質(zhì)，正確，而命題是錯的。所以①是假的，②是真的，③④中，因為為假，為真，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項C正確
答案：C
例8：下列4個命題中，其中的真命題是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：為存在性命題，所以只要找到符合條件的即可。可作出的圖像，通過觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的；同樣作圖可得，所以正確；通過作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分，所以錯誤；在中，可得當時，，所以，正確。綜上可得：正確
答案：D
小煉有話說：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找例子（正例或反例）來進行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試利用常規(guī)方法證明或判定
（2）本題考察了指對數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）進行處理，例如本題中運用的數(shù)形結(jié)合，而通過選擇中間量判斷。
例9：已知命題，命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（
）
A.
B.
或
C.
D.
思路：因為為假命題，所以可得均為假命題。則為真命題。。解決這兩個不等式能成立與恒成立問題即可。
解：為假命題
均為假命題
為真命題
對于
當時，
對于，設(shè)，由圖像可知：若成立，則
，解得：或
所以綜上所述：
小煉有話說：因為我們平日做題都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時，可以考慮先寫出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉(zhuǎn)化為熟悉的形式以便于求解
例10：設(shè)命題函數(shù)的定義域為；命題，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍
思路：由“”為真命題可得至少有一個為真，由“”為假命題可得至少有一個為假。兩種情況同時存在時，只能說明是一真一假。所以分為假真與真假進行討論即可
解：
命題“”為真命題，且“”為假命題
一真一假
若假真，則函數(shù)的定義域不為
恒成立
或
若真假，則函數(shù)的定義域為
或
，不等式
解得
綜上所述：
三、近年模擬題題目精選：
1、（2014河南高三模擬，9）已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2014，岳陽一中，3）下列有關(guān)命題的敘述:
①
若為真命題，則為真命題
②
“”是“”的充分不必要條件
③
命題，使得，則，使得
④
命題：“若，則或”的逆否命題為：“若或，則”
其中錯誤命題的個數(shù)為（
）
A．1
B．2
C．3
　
D．4
3、（2014成都七中三月模擬，4）已知命題，命題，則（
）
A.
命題是假命題
B.
命題是真命題
C.
命題是假命題
D.
命題是真命題
4、（2014新津中學(xué)三月月考，6）已知命題“，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2014
新課標全國卷I）不等式組：的解集記為，有下面四個命題：
其中真命題是（
）
A.
B.
C.
D.
習(xí)題答案：
1、答案：C
解析：分別判斷真假，令，可得
由零點存在性定理可知，使得，為真；通過作圖可判斷出當時，，故為假；結(jié)合選項可得：為真
2、答案：B
解析：判斷每個命題：①若真假，則為真命題，為假命題，故①錯誤；②
不等式的解為或，由命題所對應(yīng)的集合關(guān)系可判斷出②正確；③
存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故③正確；④
“或”的否定應(yīng)為“且”，故④錯誤，所以選擇B
3、答案：B
解析：對于：當時，，故正確；對于：因為，所以當時，，故錯誤，結(jié)合選項可知是真命題
4、答案：C
解析：命題的否定為：“，使得”，此為真命題，所以轉(zhuǎn)為恒成立問題，利用二次函數(shù)圖像可得：
，解得
5、答案：C
解析：由已知條件作出可行域，并根據(jù)選項分別作出相應(yīng)直線，觀察圖像可知：陰影部分恒在的上方，所以成立；且陰影區(qū)域中有在中的點，所以成立，綜上可得：正確

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