資源簡介

1．（2012唐山市高三統(tǒng)一考試理）四棱錐P—ABCD的所有側(cè)棱長都為，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】本題主要考查異面直線所成角和余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
∵CD平行于AB，則CD與PA所成角就是∠PAB；由余弦定理
∠PAB＝
2．（2012唐山市高三模擬理）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】本題主要考查空間幾何體的三視圖和球的表面積公式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本能力的考查.
這個幾何體是如圖所示的三棱錐，，設(shè)外接球的半徑為R,則
，這個幾何體的外接球的表面積為
3．（2012江西師大附中高三模擬理）如圖甲所示，三棱錐的高分別在和上，且，圖乙中的四個圖像大致描繪了三棱錐的體積與的變化關(guān)系，其中正確的是（ ）
【答案】A
【解析】本題主要考查三棱錐的體積，三角形的面積公式，函數(shù)圖像以及基本不等式的基本運算. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算、基本能力的考查.
, ,
是拋物線的一部分，答案A
4.(2012三明市普通高中高三聯(lián)考理)一個棱錐的三視圖如右圖所示，則這個棱錐的體積是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查多面體的直觀圖和三視圖、棱錐的體積公式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本思維的考查.
由題意，多面體是一個四棱錐E-ABCD,ED垂直于平面ABCD，ED=3,AB=4,AD=3,四邊形ABCD是矩形
這個棱錐的體積＝
5．(2012廈門市高三模擬質(zhì)檢理)已知直線m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是
A. m∥n　　　　　B. n⊥m　　　　　　　C. n∥α　　　　　　　D. n⊥α
【答案】B
【解析】本題主要考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 . 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
已知直線m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，應(yīng)增加的條件n⊥m，才能使得n⊥β。
6．(2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)檢1)將長方體截去一個四棱錐后，得到的幾何體的
長方體的側(cè)面與底面垂直，所以俯視圖是C
7．(2012廈門市高三質(zhì)檢)已知體積為的正三棱柱（底面是正三角形且側(cè)棱垂直底面）的三視圖如圖所示，則此三棱柱的高為
　A.　　　　B.　　　C.1　　　　D.
【答案】C
【解析】本題主要考查正棱柱的體積、空間幾何體的三視圖. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
由俯視圖的高等于側(cè)視圖的寬，正三棱柱的底面三角形高為，故邊長為，設(shè)正三棱柱的高為，則有正三棱柱的體積公式，
8．（2012金華十校高三模擬聯(lián)考理）一空間幾何體的三視圖如圖所示 ，則該幾何體的體積為 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】本題主要考查空間幾何體的三視圖、圓柱、圓臺的體積計算公式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
【解析】本題主要考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的有關(guān)知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
需要才有，A錯誤.
若與可能平行、相交、也可能異面，B錯誤.
若與可能平行、相交、也可能異面，D錯誤.
10.(2012三明市普通高中高三聯(lián)考理)設(shè)、、是三個互不重合的平面，、是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是
A. 若，，則 B. 若，，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
【答案】D
【解析】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系. 屬于基礎(chǔ)知識的考查.
對于A, 若，,可以平行，也可以不垂直相交
對于B，若，，，則可以平行
對于C, 若，，則可以在平面 答案D正確
由三視圖知，幾何體是一個底面是邊長為1的等腰直角三角形，高為1的三棱柱。
12. （2012年西安市高三年級第一次質(zhì)檢理） —個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
A. 48
B.
C.
D. 80
【答案】C
【解析】本題主要空間幾何體的三視圖和棱柱的表面積計算公式 . 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
由三視圖可知幾何體是一個平放的直棱柱，底面是上底為2，下底為4，高為4的直角梯形，棱柱的高為4，因此梯形的周長為＋6
該幾何體的表面積為
13．（2012廈門模擬質(zhì)檢理8）已如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是
　A.D1O∥平面A1BC1
B. D1O⊥平面MAC
C.異面直線BC1與AC所成的角等于60°　
D.二面角M－AC－B等于90°
【答案】D
【解析】因為D1O∥平面A1BC1， D1O⊥平面MAC, 異面直線BC1與AC所成的角等于60°　二面角M－AC－B等于90°錯誤，選D;
16．（2012寧德質(zhì)檢理5）若是三個互不重合的平面，是一條直線，則下列命題中正確的是 （ ）
A．若 B．若
C．若的所成角相等，則 D．若上有兩個點到α的距離相等，則
【答案】B
【解析】若，此推理符合平面與平面垂直的判定；
17．（2012寧德質(zhì)檢理13）一個空間幾何體的三視圖如右所示，
則該幾何體的體積
為 。
13、【答案】4
【解析】幾何體是平躺的三棱柱，
18.（2012韶關(guān)第一次調(diào)研理12）如圖是邊長為的為正方形的對角線，將繞
直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的體積等于
【答案】，
【解析】繞直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是圓柱去掉一個圓錐，
19. (2012深圳中學(xué)模擬理7)在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（ ）
A B
C D
【答案】A
【解析】解：設(shè)圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為V==(020.（2012海南嘉積中學(xué)模擬理6）正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為，為中點，則異面直線與所成的角是（ ）
A、30° B、45° C、60° D、90°
【答案】C
【解析】取AC中點F,中，由余弦定理得.
21.（2012海南嘉積中學(xué)模擬理16）一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的
體積為 .
【答案】
22. （2012黑龍江綏化市一模理4）若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方
23. （2012黑龍江綏化市一模理8）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則與平面所成的角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
25.（2012浙江瑞安模擬質(zhì)檢理2）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幾何體可以拼接成高為2的正三棱柱，
26.（2012浙江瑞安模擬質(zhì)檢理16）在正方體中,分別是的中點,給出以下四個結(jié)論:
①； ②//平面； ③與相交； ④與異面
其中正確結(jié)論的序號是 ▲ .
【答案】（1）（3）（4）
【解析】由圖形可以觀察出與平面MNPQ相交于正方體中心
27.（2012·泉州四校二次聯(lián)考理7）設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（　　）
A． 　　 B． 　 C．　　　　 D．
【答案】B
【解析】由題意，球的直徑是長方體的對角線，所以
28.（2012·泉州四校二次聯(lián)考理13）四棱錐的頂點在底面上的投影恰好是，
其正視圖與側(cè)視圖都是腰長為的等腰直角三角形。則在四棱
錐的任意兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線
共有______對．
【答案】6
【解析】因為，此推理符合線面平行的判定定理。
30.（2012浙江寧波市模擬理）下列命題中，錯誤的是（ ）
（A） 一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交
（B）平行于同一平面的兩個不同平面平行
（C）若直線不平行平面，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線
（D） 如果平面不垂直平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
【答案】C
【解析】C錯，直線不平行平面，可能直線在平面內(nèi)，故在平面內(nèi)不存在與平行的直線。
31.（2012浙江寧波市模擬理）如圖是一個組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 .
【答案】
【解析】由三視圖還原可知該幾何體是一個組合體，下面是一個圓柱，上面是一個三棱柱，故所求體積為
。
32.（2012山東青島市模擬理）已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：33.（2012山東青島市模擬理）已知、、為三條不重合的直線，下面有三個結(jié)論：①若則∥；②若則；③若∥則.
其中正確的個數(shù)為
A．個 B．個 C． 個 D． 個　　　
【答案】B
【解析】①不對，，可能異面；②不對，，可能平行；③對，選Ｂ。
34.（2012山東青島市模擬理）已知長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為、、，則這個長方體的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】因長方體對角線長為，所以其外接球的表面積．
35.（2012吉林市模擬質(zhì)檢理）一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中
A. B. AB與CD相交
C. D. AB與CD所成的角為
【答案】D
【解析】將平面展開圖還原成幾何體，易知AB與CD所成的角為，選D。
36.（2012吉林市模擬質(zhì)檢理）右圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是 .
【答案】
【解析】由三視圖可知原幾何體是一個長方體中挖去半球體，故所求表面積為。
37.（2012江西南昌市調(diào)研理）已知 、 為不重合的兩個平面，直線m ，那么“m⊥ ”是“ ⊥ ”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為①長方形；②正方形；③圓；④橢圓.其中正確的是（ ）
A．①② B． ②③
C．③④ D． ①④
【答案】B
【解析】由三視圖的成圖原則可知，正視圖、側(cè)視圖的寬度不一樣，故俯視圖②正方形；③圓，選B。
,選B。
40.（2012河南鄭州市質(zhì)檢理）在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】.
【解析】構(gòu)造一個長方體，因為對棱垂直，故底面可看成一個正方形，不妨設(shè)長寬高為，則，三棱錐的外接球即為長方體的外接球，其直徑為體對角線，即，所求表面積為。
41.（2012北京海淀區(qū)模擬理）已知正三棱柱的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示. 設(shè)的中心分別是，現(xiàn)將此三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)所成的角為弧度（可以取到任意一個實數(shù)），對應(yīng)的俯視圖的面積為，則函數(shù)的最大值為 ；最小正周期為 .
說明：“三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為負角.
【答案】；
【解析】由三視圖還原可知，原幾何體是一個正三棱柱橫放的狀態(tài)，則俯視圖對應(yīng)的是一個矩形，由旋轉(zhuǎn)的過程可知取得最大值時俯視圖投影的長為4，寬為2的矩形，即，又每旋轉(zhuǎn)個單位又回到初始狀態(tài)，故周期為。
42.（2012廣東韶關(guān)市調(diào)研理）三棱柱的直觀圖和三視圖（主視圖和俯視圖是正方形，左視，選A。
43.（2012金華十校高三模擬聯(lián)考理）在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線BD1與平面A1B1CD所成角的正切值是 。
44．（本小題滿分12分）
∵SD＝AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB． …6分
（Ⅱ）作AF⊥BE，垂足為F．
由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，則AF⊥平面BED，
則∠AEF是直線SA與平面BED所成的角． …8分
設(shè)AD＝2a，則AB＝a，SA＝2a，AE＝a，
△ABE是等腰直角三角形，則AF＝a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，
故直線SA與平面BED所成角的大小45． …12分
45.（2012年西安市高三年級第一次質(zhì)檢理）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形AB = 2, = 60°.
(I )求證:BD丄平面PAC;
(II)若PA =Ab，求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】
46．（本題滿分14分）
（2012金華十校高三模擬聯(lián)考理）如圖，三棱錐P—ABC中，平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB。
（1）求證：平面PCB；
（2）求二面角C—PA—B的余弦值。
【答案】
【解析】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系、考查空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力.考查化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.
47．(本小題滿分12分)
(2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)檢1理)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分別為CC1和A1B1的中點，且A1A=AC=2AB=2．
(I)求證：C1E∥平面A1BD；
(Ⅱ)求點C1到平面A1BD的距離．
【解析】本題主要考查集合的基本運算. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.
（Ⅰ）證明：取中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)D．
∵,又,,
∴平行且等于
所以為平行四邊形，……………4分
∴，又平面,
∴平面.……………6分
（Ⅱ），,……………8分
所以,
，………………10分
及，
.
所以點到平面的距離為.………………12分
48.（2012江西師大附中高三開學(xué)考卷理）一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中分別是的中點，是上的一動點.
（1）求證：
（2）當時，在棱上確定一點，使得//平面，并給出證明.
【解析】本題主要考查多面體的直觀圖和三視圖、空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系. 屬于基礎(chǔ)知識、基本思維的考查.
證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
（2）點P在A點處
證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA
G是DF的中點，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC
GA//面FMC 即GP//面FMC
49.(2012三明市普通高中高三聯(lián)考理)如圖，已知四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若是的中點，求三棱錐的體積．
【解析】本題主要考查棱錐的體積公式、直線與平面的位置關(guān)系. 屬于基礎(chǔ)知識、基本思維的考查.
證明：（Ⅰ）由已知 底面是直角梯形，， …………………… 1分
又平面 , 平面 …………………… 3分
∴∥平面 …………………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形中，過作于點， ………………… 5分
則，
∴ ………………… 7分
又平面，∴ ………………… 8分
………………… 12分
50．（本小題滿分12分）
　　(2012廈門市高三模擬質(zhì)檢理)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB＝BC，BD⊥AC，E為PC的中點。
　　（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
　　（Ⅱ）求證：PA∥平面BDE。
【解析】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系、考查空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力.考查化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.
51．（本小題共12分）
（2012武昌區(qū)高三年級元月調(diào)研理）如圖，已知四棱臺ABCD—A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面ABCD．底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（I）求證：平面A1ACC1上平面B1BDD1；
（II）求側(cè)棱DD1與底面ABCD所成的角；
（III）求四棱臺ABCD—A1B1C1D1的體積。
【解析】本題主要考查了棱臺的概念、直線與平面、平面與平面的垂直證明、直線與平面所成角以及臺體的體積公式. 屬于中等題。考查了基礎(chǔ)知識、基本運算、識圖能力.
解：（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．
底面是正方形，．
與是平面內(nèi)的兩條相交直線，
∴⊥平面
平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）過作于，則．
∵⊥平面 ABCD，
平面．
為側(cè)棱與底面所成的角．
在中，，
，
．
（Ⅲ） 在中，求得．
而，
所以．
52、（2012浙江寧波市模擬理科）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)點為中點，求二面角的余弦值．
【解析】(1)證明：
則，，則得
，面平面，
面平面
平面． ……7分
（II）過作交于點，連,
則為二面角的平面角，在中，，，則二面角的余弦值為．…………14分
則…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）作，因為面平面，所以面
因為，，所以…………………………6分
…………………………………8分
（Ⅲ）因為，平面于點，所以是的中點
設(shè)是的中點，連接…………………………………………………10分
所以∥∥
因為，所以∥面，則點就是點…………………12分
54.（2012吉林市模擬質(zhì)檢理）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為矩形，，為的上一點，且.
（Ⅰ）若F為PE的中點，求證：平面AEC；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.
【解析】證明（1）E為BC的中點，又為正三棱錐
【解析】（1）證明：∵底面，且底面， ∴ …1分
由，可得 …………………2分
又，∴平面 …………………3分
注意到平面， ∴ ………………4分
,為中點，∴ …………………………5分
， ∴平面 …………………………6分
57.（2012河南鄭州市質(zhì)檢理）如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點，AE=ED=，SE⊥AD.
（Ⅰ）證明：平面SBE⊥平面SEC;
（Ⅱ）若SE=1，求三棱錐E-SBC的高.
【解析】（Ⅰ）證明: 平面平面,平面平面,
平面，，
平面. …………2分
平面
，，=3, AE=ED=
所以即…………4分
結(jié)合得BE⊥平面SEC,
平面， 平面SBE⊥平面SEC. …………6分
（Ⅱ）如圖，作EF⊥BC于F,連結(jié)SF.由BC⊥SE,SE和EF相交得，
BC⊥平面SEF,由BC在平面SBC內(nèi)，得平面SEF⊥平面SBC.
作EG⊥SF于G,
則EG⊥平面SBC.即線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高.…………9分
由SE=1，BE=2，CE=得BC=4，EF=.
在中，,
所以三棱錐E-SBC的高為.…………12分
58.（2012北京海淀區(qū)模擬理）在四棱錐中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求證：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求證：；
（Ⅲ）在棱上是否存在點（異于點）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【解析】（Ⅰ）證明：因為 底面是菱形
所以 . ………………………………………1分
因為 ，，
所以 平面. ………………………………………3分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知.
因為 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………5分
因為 平面，
所以 . ………………………………………7分
因為 底面是菱形，
所以 .
所以 . ………………………………………8分
60.（2012廣東韶關(guān)市調(diào)研理）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于.
（1）求證：；
（2）若四邊形ABCD是正方形，求證；
（3）在（2）的條件下，求四棱錐的體積.
【解析】（1）證明：在圓柱中：
上底面//下底面，
且上底面∩截面ABCD＝，下底面∩截面ABCD＝
//……………………………………………………………………….２分
又AE、DF是圓柱的兩條母線，
是平行四邊形，所以，又//
…………………………………………………………………….５分
（2）AE是圓柱的母線，
下底面，又下底面，…………………………….７分

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